江苏省南通市如皋市2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x \in A$ 且 $x \notin B}$ ， $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {1 ， 4}$ ，则 $M =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${4}$ C、 ${2 ， 3}$ D、 ${1 ， 2}$

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2. 已知扇形的圆心角为 $α$ ，半径为 $r$ ，弧长为 $l$ ，面积为 $S$ ，有下列四个命题：甲： $α = \frac{π}{3}$ ，乙： $r = 1$ ，丙： $l = \frac{2 π}{3}$ ，丁： $S = \frac{2 π}{3}$ .若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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3. $l g 2 \cdot l o g_{8} 10$ 的值为（）

A、 $3$ B、 $l o g_{3} 10$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $l g 3$

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x ， x \geq 0 ， \\ - x ， x < 0 ， \end{array}$ 则方程 $x^{2} - f (x - 1) = 1$ 的解集为（）

A、 ${- 2 ， 0}$ B、 ${- 2 ， 1}$ C、 ${- 2 ， 0 ， 1}$ D、 ${0 ， 1}$

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5. 若 $a ， b ， c \in R$ ，则下列命题不一定正确的是（）

A、若 $| a | > | b |$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ B、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、若 $c > a > b$ ，则 $\frac{a}{c - a} > \frac{b}{c - b}$

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6. 关于 $x$ 的方程 $x^{2} + (a - 2) x + 5 - a = 0$ 在 $(2 ， 4)$ 上有两个不相等的实根，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 6 ， - 2)$ B、 $(- 6 ， - 4)$ C、 $(- \frac{13}{3} ， - 2)$ D、 $(- \frac{13}{3} ， - 4)$

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7. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量 $E$ （单位：焦耳）与地震里氏震级 $M$ 之间的关系为 $l g E = 4.8 + 1.5 M$ . $2011$ 年 $3$ 月 $11$ 日，日本东北部海域发生里氏 $9.0$ 级地震，它所释放出来的能量是2013年4月20日在四川省雅安市芦山县发生7.0级地震级地震的（）倍.

A、 $1 0^{3}$ B、 $3$ C、 $l g 3$ D、 $1 0^{- 3}$

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8. 已知定义在 $[- 3 ， 3]$ 的函数 $y = f (x + 1) - 2$ 是奇函数，且对任意两个不相等的实数 $x_{1} ， x_{2} \in [1 ， 4]$ ，都有 $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) < x_{1} f (x_{2}) + x_{2} f (x_{1})$ .则满足 $f (2 x) + f (1 - x) \leq 4$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， \frac{3}{2}]$ B、 $[1 ， 2]$ C、 $[- \frac{3}{2} ， 1]$ D、 $[- 1 ， 1]$

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二、多选题

9. 已知 $α$ 与 $β$ 是终边相同的角，且 $β = - \frac{1}{3} π$ ，那么 $\frac{α}{2}$ 可能是第（）象限角.

A、一 B、二 C、三 D、四

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10. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a b - 4 a - b = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a > 1$ B、 $a b$ 的最小值为16 C、 $a + b$ 的最小值为8 D、 $\frac{1}{a - 1} + \frac{9}{b}$ 的最小值为2

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11. 函数 $y = \frac{x}{2 x + k}$ 与函数 $y = k x + 1$ 在同一坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l g x | ， 0 < x \leq 2 ， \\ f (4 - x) ， 2 < x < 4 . \end{array}$ 若方程 $f (x) = m$ 有四个不等实根 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ $(x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ .下列说法正确的是（）

A、 $x_{1} x_{2} = 1$ B、 $0 < m < l g 2$ C、 $x_{3} + x_{4} = 6$ D、 $x_{3} + 1 0^{m} = 4$

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三、填空题

13. 已知集合 $A = {x | \frac{x - 1}{x + 2} \leq 0} ， B = {x | x = \frac{k}{2} + \frac{1}{4} ， k \in N}$ ，则 $A ∩ B =$ .

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14. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(2 ， \frac{1}{8})$ ，则该函数的单调区间为.

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15. 已知 $a = l o g_{2} 3$ ， $b = \frac{3}{2}$ ， $c = 2^{\frac{2}{5}}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 由小到大的顺序为.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + \frac{1}{x} ， x > 0 \\ x^{2} - 2 a x + 3 ， x \leq 0 \end{array}$ 的最小值为 $2$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 化简：

(1)、 ${(\sqrt{4 - x})}^{2} + \sqrt[4]{{(x - 6)}^{4}}$ ；

(2)、 ${(\frac{1}{4})}^{- 1 + l o g_{2} 3}$ .

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18. 已知集合 $A = {x | {(\frac{1}{3})}^{x} > \sqrt[4]{27}}$ ，集合 $B = {x | | x - 1 | > a}$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若“ $x ∈ A$ ”是“ $x ∈ B$ ”的充分条件，求实数a的取值范围.

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19. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a$ ， $b$ ， $c \in R)$ 只能同时满足下列三个条件中的两个：① $f (x) < 5$ 的解集为 ${x | - 2 < x < 4}$ ；② $f (x)$ 的最小值为 $- 4$ ；③ $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， 1)$ 上是增函数.

(1)、请写出满足题意的两个条件的序号，并求 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值；

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq m x - 2 m - 3 (m \in R)$ 的解集.

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20. 已知函数 $f (2 x + 1) = | 2 x + 4 | - | 2 x - 2 |$ .

(1)、证明： $f (x)$ 是奇函数；

(2)、若不等式 $f (a^{2} - 5 a - 3) + f (4 a - 17) < 0$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 已知奇函数 $f (x)$ 和偶函数 $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f (x) + g (x) = 2^{x + 1}$ .

(1)、证明：函数 $g (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增；

(2)、求函数 $g (x)$ 在区间 $[a ， a + 4]$ 上的最大值.

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22. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = l o g_{2} (x^{2} + a)$ .

(1)、若 $a > 0$ ，且对任意 $t \in [\frac{1}{2} ， 2]$ ，任意 $x_{1} ， x_{2} \in [t ， t + 1]$ ，恒有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq 1$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) - l o g_{2} (x + 2 a + 1) = 0$ 的解集是单元素集，求 $a$ 的取值范围.

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