江苏省南通市如东县2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合A＝ ${x | 0 < x < 2}$ ， B＝ ${x | 1 < x < 5}$ ，则A∪B＝（　　）

A、 ${x | 0 < x < 5}$ B、 ${x | 2 < x < 5}$ C、 ${x | 0 < x < 2}$ D、 ${x | x < 2$ 或 $x > 5}$

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2. “ $0 < x < 2$ ”是“ $x^{2} - x - 6 < 0$ ”的（）

A、必要而不充分条件 B、充分而不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知f（2x﹣1）＝4x+6，则f（5）的值为（　　）

A、26 B、24 C、20 D、18

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4. 《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（　　）

A、a²+b²≥2ab（a＞0，b＞0） B、 $\frac{a + b}{2} > \sqrt{a b} (a > 0 ， b > 0)$ C、 $\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$ （a＞0，b＞0） D、 $\frac{2 a b}{a + b} \leq \sqrt{a b}$ （a＞0，b＞0）

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5. 函数 $y = 1 + x - \sqrt{1 - 2 x}$ 的值域为（）

A、 $(- \infty ， \frac{3}{2}]$ B、 $(- \infty ， \frac{3}{2})$ C、 $[\frac{3}{2} ， + \infty)$ D、 $(\frac{3}{2} ， + \infty)$

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6. 函数 $f (x) = \frac{1}{x + 1} + \frac{2}{5 - 2 x}$ （ $- 1 < x < \frac{5}{2}$ ）的最小值是（　　）

A、 $\frac{7}{6}$ B、 $\frac{8}{7}$ C、 $\frac{9}{8}$ D、 $\frac{6}{5}$

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7. 已知f（x）为偶函数，且函数g（x）＝xf（x）在[0，+∞）上单调递减，则不等式（1﹣2x）f（2x﹣1）+xf（x）＜0的解集为（　　）

A、（﹣∞， $\frac{1}{3}$ ） B、（﹣∞，1） C、（ $\frac{1}{3}$ ， +∞） D、（1，+∞）

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8. 对任意正数x，y，不等式x（x+y）≤a（x²+y²）恒成立，则实数a的最小值为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ ﹣1 C、 $\sqrt{2}$ +1 D、 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$

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二、多选题

9. 已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（）

A、 $M ∩ ∁_{U} N = \emptyset$ B、 $M ∪ ∁_{U} N = U$ C、 $∁_{U} M ∪ ∁_{U} N = ∁_{U} M$ D、 $∁_{U} M ∩ ∁_{U} N = ∁_{U} M$

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10. 已知定义在R上的函数f（x），下列说法正确的有（　　）

A、若f（2）＞f（1），则f（x）在R上不是减函数 B、若f（x+1）是偶函数，则f（x）图象关于x＝1对称 C、若f（﹣1）＝f（1），则f（x）是偶函数 D、若f（x）满足任意x₁≠x₂ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则f（x）在R上是增函数

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11. 已知 $3^{a} = 5^{b} = 15$ ，则a，b满足的关系有（　　）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ B、 $a b > 4$ C、 $a^{2} + b^{2} < 4$ D、 $(a + 1)^{2} + (b + 1)^{2} > 16$

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12. 给定区间D，对于函数f（x）与g（x）及任意x₁ ， x₂∈D（其中x₁＞x₂），若不等式f（x₁）﹣f（x₂）＞g（x₁）﹣g（x₂）恒成立，则称f（x）对于g（x）在区间D上是“渐先函数”.已知函数f（x）＝2ax²+2ax对于函数g（x）＝x+a在区间[a，a+1]上是“渐先函数”，则实数a的值可能是（　　）

A、1 B、0 C、﹣1 D、﹣2

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三、填空题

13. 若函数 $f (x) = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{| x |}$ ，则f(x)的定义域为.

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14. 已知∃x∈R，使得x²﹣2x﹣m＜0是真命题，则实数m的取值范围是.

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15. 为了落实“提速降费”的要求，某市移动公司欲下调移动用户的消费资费，已知该公司共有移动用户10万人，人均月消费50元.经测算，若人均月消费下降x%（x为正数），则用户人数会增加 $\frac{x}{8}$ 万人.若要保证该公司月总收入不减少，则x的取值范围为.

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16. 已知函数 $f (x) = | x^{2} - a x + 2 | + a ， a \in R$ ，若 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上的最大值是 $3$ ，则实数 $a$ 的最大值是.

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四、解答题

17.

(1)、已知 $x + x^{- 1} = 6 (x > 1)$ ，求 $x^{\frac{1}{2}} - x^{- \frac{1}{2}}$ 的值；

(2)、 $l o g_{2} \sqrt[3]{2} + (1 + l g 2) l g 5 + (l g 2)^{2} - 4^{l o g_{4} 3}$

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18. 已知不等式 $a x^{2} - 3 x + 2 > 0$ 的解集为 ${x | x < 1$ 或 $x > b}$ （其中 $b > 1$ ）．

(1)、求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $\frac{x - 1}{4 a x - b} \geq 1$ ．

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19. 已知幂函数f（x）＝（m²﹣4m+4）xm^﹣²在（0，+∞）上单调递减.

(1)、求f（x）的解析式；

(2)、若正数a，b满足2a+3b＝4m，若不等式 $\frac{3}{a} + \frac{2}{b}$ ≥n恒成立，求实数n的最大值.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{2 x}{x + 1} ， x \in (0 ， + \infty)$

(1)、判断函数的单调性，并用定义法证明；

(2)、若 $f (2 m - 1) > f (1 - m)$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + a}$ ， $x \in (0 ， + \infty)$ ，其中 $a > 0$ .

(1)、若 $f (x)$ 的图象与直线 $y = 2$ 没有公共点，求实数a的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时，函数 $g (x) = \frac{1}{f^{2} (x)} + \frac{m}{f (x)}$ 的最小值为 $- 8$ ，求实数m的值.

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22. 函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a ， b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，给定函数 $f (x) = \frac{x^{2} + x - 6}{x + 1}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的对称中心；

(2)、已知函数 $g (x)$ 同时满足：① $g (x + 1) - 1$ 是奇函数；②当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $g (x) = x^{2} - m x + m$ .若对任意的 $x_{1} \in [0 ， 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [1 ， 5]$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ ，求实数m的取值范围.

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