江苏省连云港市海州区四校2022-2023学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 命题“ $\forall x \geq 1$ ， $x^{2} \geq 1$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \geq 1$ ， $x^{2} < 1$ B、 $\exists x < 1$ ， $x^{2} \geq 1$ C、 $\exists x \geq 1$ ， $x^{2} \geq 1$ D、 $\exists x < 1$ ， $x^{2} < 1$

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2. 已知集合 $A = {x | x < \frac{3}{2}}$ ， $B = {x | 1 - 2 x > 0}$ ，则（）

A、 $A ∩ B = {x | x < \frac{1}{2}}$ B、 $A ∩ B = \emptyset$ C、 $A ∪ B = {x | x < \frac{1}{2}}$ D、 $A \cup B = R$

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3. 不等式 $- x^{2} + 3 x + 18 < 0$ 的解集为（）

A、 ${x | x > 6$ 或 $x < - 3}$ B、 ${x | - 3 < x < 6}$ C、 ${x | x > 3$ 或 $x < - 6}$ D、 ${x | - 6 < x < 3}$

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4. 如图，已知集合 $U = R$ ，集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $B = {x | (x + 1) (x - 2) \leq 0}$ ，则图中阴影部分表示的集合的子集的个数为（）

A、3 B、4 C、7 D、8

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5. “ $m < \frac{1}{4}$ ”是“关于 $x$ 的方程 $x^{2} + x + m = 0 (m \in R)$ 有实数根”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知a=log₂0.2，b= $2^{0.2}$ ，c= ${0.2}^{0.3}$ ，则（）

A、a<b<c B、a<c<b C、c<a<b D、b<c<a

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7. 设a>0，则 $a + \frac{a + 4}{a}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{a + 4}$ B、2 C、4 D、5

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8. 为了衡量星星的明暗程度，公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮.1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 $m_{1} - m_{2} = 2.5 (l g E_{2} - l g E_{1})$ ，其中星等为 $m_{k}$ 的星的亮度为 $E_{k} (k = 1 ， 2)$ .已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为 $2.02$ 和 $1.77$ ，且当 $| x |$ 较小时， $1 0^{x} \approx 1 + 2.3 x + 2.7 x^{2}$ ，则“玉衡”与“北极星”的亮度之比大约为（）

A、 $1.28$ B、 $1.26$ C、 $1.24$ D、 $1.22$

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二、多选题

9. 已知 $a ， b ， c ， m \in R$ ，则下列推证中不正确的是（）

A、 $a > b \Rightarrow a m^{2} > b m^{2}$ B、 $\frac{a}{c} > \frac{b}{c} \Rightarrow a > b$ C、 $a c^{2} > b c^{2} \Rightarrow a > b$ D、 $a^{2} > b^{2} ， a b > 0 \Rightarrow \frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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10. 设 $A = {x | x^{2} - x - 2 = 0}$ ， $B = {x | m x - 1 = 0}$ ，若 $A ∩ B = B$ ，则实数m的值可以为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、-1 C、0 D、 $- \frac{1}{2}$

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11. 已知实数a满足 $a + a^{- 1} = 4$ ，下列选项中正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{- 2} = 14$ B、 $a - a^{- 1} = 2 \sqrt{3}$ C、 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = \sqrt{6}$ D、 $\frac{a^{\frac{3}{2}} + a^{- \frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}}} = 3$

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12. 下列说法中，以下是真命题的是（）．

A、存在实数 $x_{0}$ ，使 $- 2 x_{0}^{2} + x_{0} + 4 = 0$ B、所有的素数都是奇数 C、至少存在一个正整数，能被5和7整除. D、三条边都相等的三角形是等边三角形

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三、填空题

13. 已知 $3 \in {1 ， a ， a - 2}$ 则实数 $a$ 的值为

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14. 若 $a = \sqrt[3]{(3 - π)^{3}}$ ， $b = \sqrt[4]{(2 - π)^{4}}$ ，则 $a + b$ 的值为.

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15. 若命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 a x + 1 \leq 0$ ”是假命题，则实数a的取值范围是．

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16. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若不相等的两个正实数 $a ， b$ 满足 $a + b = 4$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > t$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 化简下列式子并求值：

(1)、 $l g 14 - 2 l g \frac{7}{3} + l g 7 - l g 18$ ；

(2)、 ${(\frac{27}{8})}^{- \frac{2}{3}} - {(\frac{49}{9})}^{0.5} + (0.2)^{- 2} \times \frac{2}{25} - (0.081)^{0}$ .

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18. 已知集合 $A = {x ∣ a x^{2} + 2 x + 1 = 0 ， a \in R}$ .

(1)、若A中只有一个元素，求 $a$ 的值；

(2)、若A中至少有一个元素，求 $a$ 的取值范围.

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19. 已知集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 5}$ ， $B = {x | m + 1 \leq x \leq 2 m - 1}$ ，且 $B ≠ ∅$ ．

(1)、若命题 $p$ ：“ $\forall x \in B$ ， $x ∈ A$ ”是真命题，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若命题 $q$ ：“ $\exists x \in A$ ， $x ∈ B$ ”是真命题，求实数 $m$ 的取值范围。

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20. 已知非空集合 $P = {x | a + 1 \leq x \leq 2 a + 1}$ ， $Q = {x | - 2 \leq x \leq 5}$ ．

(1)、若 $a = 3$ ，求 $(∁_{R} P) \cap Q$ ；

(2)、若“ $x \in P$ ”是“ $x \in Q$ ”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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21. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为 $x m$ ，宽为 $y m$ .

(1)、若菜园面积为 $72 m^{2}$ ，则 $x ， y$ 为何值时，可使所用篱笆总长最小？

(2)、若使用的篱笆总长度为 $30 m$ ，求 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值.

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22.

(1)、若不等式 $a x^{2} + b x - 2 > 0$ 的解集为 ${x | - 2 < x < - \frac{1}{4}}$ ，求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若不等式 $(2 - a) x^{2} - 2 (a - 2) x + 4 \geq 0$ 对一切实数 $x$ 都成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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