吉林省长春市农安县2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合P＝{x|1＜x＜4}，Q＝{x|2＜x＜3}，则P∩Q＝（）

A、{x|1＜x≤2} B、{x|2＜x＜3} C、{x|3≤x＜4} D、{x|1＜x＜4}

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2. 已知 $a \in R$ ，则“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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3. 已知命题 $p$ ： $\exists x_{0} \in (1 ， 3)$ ， $x_{0}^{2} - 4 x_{0} + 3 < 0$ ，则命题 $p$ 的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \in (1 ， 3)$ ， $x_{0}^{2} - 4 x_{0} + 3 \geq 0$ B、 $\exists x_{0} \notin (1 ， 3)$ ， $x_{0}^{2} - 4 x_{0} + 3 < 0$ C、 $\forall x \in (1 ， 3)$ ， $x^{2} - 4 x + 3 \geq 0$ D、 $\forall x \notin (1 ， 3)$ ， $x^{2} - 4 x + 3 < 0$

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4. 函数 $f (x) = e^{x} + x - 2$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(2 ， 3)$

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5. 已知 $f (x) = a x^{2} + b x$ 是定义在[a - 1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（）

A、－ $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、－ $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 若 $a = 1 0^{0.1}$ ， $b = l g 0.8$ ， $c = l o g_{5} 3.5$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $a > c > b$

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7. 对于任意实数 $a ， b ， c ， d$ ，下列正确的结论为（）

A、若 $\frac{a_{n}}{b_{n}} - \frac{a_{n + 1}}{b_{n + 1}} + 2 = 0$ ，则 $a c > b c$ ； B、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ ； C、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ． D、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ ；

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8. 函数 $y = x^{2} - 2^{| x |} (x \in R)$ 的部分图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f (x) = x + 1$ ，则当 $x \in (- \infty ， 0)$ 时， $f (x) =$ （）

A、 $x - 1$ B、 $- x + 1$ C、 $x + 1$ D、 $- x - 1$

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10. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} 1 + {log}_{2} (2 - x) ， x < 1 ， \\ 2^{x - 1} ， x \geq 1 ， \end{matrix}$ ， $f (- 2) + f ({log}_{2} 12) =$ （）

A、3 B、6 C、9 D、12

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11. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 (a - 1) x + 2$ 在 $[4 ， + \infty)$ 上是增函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 3]$ B、 $[- 3 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 5]$ D、 $[5 ， + \infty)$

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二、多选题

12. 下列函数中，定义域是 $R$ 且为增函数的是（）

A、 $y = e^{- x}$ B、 $y = x^{3}$ C、 $y = \ln x$ D、 $y = | x |$

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13. （多选）若函数 $y = a x + 1$ 在 $[1 ， 2]$ 上的最大值与最小值的差为2，则实数 $a$ 的值可以是（）

A、2 B、 $- 2$ C、1 D、0

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14. 已知函数 $f (x) = l g (3 - x) + l g (3 + x)$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 在区间（0，3）上单调递减 D、 $f (x)$ 在区间（0，3）上单调递增

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15. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）

A、f(t)=t²与g(x)=x² B、f(x)=x+2与g(x)= $\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ C、f(x)=|x|与g(x)= ${\begin{array}{l} x ， x \geq 0 \\ - x ， x < 0 \end{array}$ D、f(x)=x与g(x)= $(\sqrt{x})$ ²

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16. 若 $a ， b \in (0 ， + \infty)$ ，则下列选项中成立的是（）

A、 $a (6 - a) \leq 9$ B、若 $a b = a + b + 3$ ，则 $a b \geq 9$ C、 $a^{2} + \frac{4}{a^{2} + 3}$ 的最小值为1 D、若 $a + b = 2$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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17. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l n x ， x > 0 \\ e^{x} ， x \leq 0 \end{array}$ ，则下列表述正确的有（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， + \infty)$ 上单调递增 B、方程 $f (x) = 0$ 的解集为 ${0 ， 1}$ C、不等式 $f (x) \leq 0$ 的解集为 $(0 ， 1]$ D、若关于 $x$ 的方程 $m - f (x) = 0$ 有两个不同的实数根，则实数 $m$ 的取值范围为 $(0 ， 1]$

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18. 有以下判断，其中是正确判断的有（）.

A、 $f (x) = \frac{| x |}{x}$ 与 $g (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \geq 0 \\ - 1 ， x < 0 \end{array}$ 表示同一函数 B、函数 $f (x) = x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2} + 2}$ 的最小值为2 C、函数 $y = f (x)$ 的图象与直线 $x = 1$ 的交点最多有1个 D、若 $f (x) = | x - 1 | - | x |$ ，则 $f (f (\frac{1}{2})) = 1$

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三、填空题

19. 函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x - 2}} + l g (5 - x)$ 的定义域为.

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20. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{x - 2}$ 的定义域为.

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21. 若一元二次不等式 $a x^{2} + b x + 2 > 0$ 的解集是 $(- \frac{1}{3} ， \frac{1}{2})$ ，则 $a + b$ 的值是．

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22. 已知函数 $f (x) = \sqrt{m x^{2} + m x + 1}$ 的定义域是 $R$ ，则 $m$ 的取值范围为．

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23. 表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：
①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；
③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；
④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样．
其中，正确信息的序号是．

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四、解答题

24. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (2 + x^{2})$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、求函数 $f (x)$ 的值域．

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25. 设全集U是实数集 $R$ ，集合 $A = {x | x^{2} + 3 x - 4 < 0}$ ，集合 $B = {x | \frac{x - 2}{x + 1} \leq 0}$ .

(1)、求集合A，集合B；

(2)、求 $A ∩ B ， A ∪ B$ .

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26. 计算下列各题：

(1)、 $0.06 4^{- \frac{1}{3}} - {(- \frac{4}{5})}^{0} + {[{(- 2)}^{3}]}^{- \frac{4}{3}} - 2^{- 4} \cdot {(\sqrt{3})}^{4}$

(2)、 $l g 25 + \frac{2}{3} l g 8 + l g 5 \cdot l g 20 + l g^{2} 2 + l o g_{2} 3 \cdot l o g_{3} 8 + 5^{l o g_{5} 2}$

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27. 已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x}$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、指出该函数在区间 $(2 ， + \infty)$ 上的单调性，并用函数单调性定义证明.

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28. 已知函数 $f (x) = (k + 3) \cdot a^{x} + 3 - b$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）是指数函数．

(1)、求k，b的值：

(2)、求解不等式 $f (2 x - 7) > f (4 x - 3)$ ．

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29. 已知“ $\exists x \in {x | - 2 < x < 2}$ ，使等式 $x^{2} - 2 x - m = 0$ ”是真命题

(1)、求实数m的取值范围M

(2)、设集合 $N = {x | a < x < a + 1}$ ，若“ $x \in N$ ”是“ $x \in M$ ”的充分条件，求a的取值范围.

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30. 已知 $2^{x} \leq 256$ 且 $\log_{2} x ⩾ \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $x$ 的取值范围；

(2)、在（1）的条件下，求函数 $f (x) = \log_{2} \frac{x}{2} \cdot \log_{2} \frac{x}{4}$ 的最大值和最小值.

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31. 已知函数 $f (x) = x^{2} + b x + c$ ， $f (1) = 9$ ， $f (2) = 13$ .

(1)、求实数 $b ， c$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x} (x > 0)$ ，求 $g (x)$ 的最小值并指出此时 $x$ 的取值.

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32. 已知 $f (x) = \frac{a x - b}{4 - x^{2}}$ 是定义在 $(- 2 ， 2)$ 上的奇函数，且 $f (1) = \frac{1}{3}$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、求使不等式 $f (t - 1) + f (t) < 0$ 成立的实数 $t$ 的取值范围.

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33. 设函数 $f (x) = a^{x} - a^{- x} (a > 0, a \neq 1)$ ， $f (1) = \frac{3}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = a^{2 x} + a^{- 2 x} - 2 m f (x)$ ， $g (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上的最小值为 $- 1$ ，求 $m$ .

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34. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 3 x + 2 > 0$ 的解集为 ${x ∣ x < 1$ ，或 $x > b}$ .

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、当 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = 1$ 时，有 $2 x + y \geq k^{2} + k + 2$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围.

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