河南省学校联盟2022-2023学年高一上学期数学期中联考A试卷

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 命题“ $\forall n \in N^{*}, f (n) \leq n$ ”的否定形式是（）

A、 $\forall n \in N^{*}, f (n) > n$ B、 $\forall n \notin N^{*}, f (n) > n$ C、 $\exists n \in N^{*}, f (n) > n$ D、 $\exists n \notin N^{*}, f (n) > n$

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2. 设集合 $A = {x | x - 2 \geq 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 8 < 0}$ ，全集 $U = R$ ，则 $B \cup ∁_{U} A =$ （）

A、 $(4 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 4)$ C、 $[4 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 4]$

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3. 甲，乙两人从同一地点出发，沿同一方向行进，路程 $s$ 与时间 $t$ 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）

A、甲比乙先出发 B、乙比甲跑的路程多 C、甲比乙先到达终点 D、甲，乙两人的速度相同

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4. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图像过点 $(2 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则 $f (8) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $- 2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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5. 已知 $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}} + \frac{a - 2}{x} + b (a ， b \in R)$ 为偶函数，则 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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6. 已知函数 $f (x)$ 满足 $\forall x ， y \in R$ ， $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ， $f (1) = 1$ ，则 $f (- 2) =$ （）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $- 2$ D、 $2$

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7. 已知函数 $y = f (x + 1)$ 为偶函数，当 $x > 1$ 时， $f (x) = x - 2$ ，则 $x f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 1 ， 0) \cup (2 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 2) ∪ (1 ， 2)$ C、 $(- 1 ， 2)$ D、 $(- \infty ， 0) ∪ (0 ， 2)$

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8. 已知关于 $x$ 的方程 $m (e^{x - 1} + e^{1 - x}) + n (x^{2} - 2 x) = 0 (m ， n \in R)$ 有唯一实数解，则 $\frac{m}{n}$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{8}$

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二、多选题

9. 下列各式的值相等的是（）

A、 $(- 1)^{\frac{1}{3}}$ 和 $\sqrt[6]{(- 1)^{2}}$ B、 $3^{\frac{4}{3}}$ 和 $\frac{1}{3^{- \frac{4}{3}}}$ C、 $\sqrt{2}$ 和 $4^{\frac{1}{4}}$ D、 $4^{- \frac{3}{2}}$ 和 ${(\frac{1}{2})}^{- 3}$

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10. 已知函数 $f (x) = \sqrt{- x^{2} + 2 x + 3}$ ，下列结论正确的是（）

A、定义域、值域分别是 $[- 1 ， 3]$ ， $[0 ， + ∞)$ B、单调减区间是 $[1 ， 3]$ C、定义域、值域分别是 $[- 1 ， 3]$ ， $[0 ， 2]$ D、单调减区间是 $(- \infty ， 1]$

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11. 设正实数 $x ， y$ 满足 $2 x + y = 1$ ，则（）

A、 $x y$ 的最大值是 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为9 C、 $4 x^{2} + y^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ D、 $\sqrt{2 x} + \sqrt{y}$ 的最大值为2

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12. 若 $2^{2 x} - 2^{2 y} < 3^{- x} - 3^{- y}$ ，则（）

A、 $x^{2} < y^{2}$ B、 $y^{3} > x^{3}$ C、 $\sqrt{x} > \sqrt{y}$ D、 ${(\frac{1}{3})}^{y} < 3^{- x}$

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三、填空题

13. 集合 $A = {x \in Z | x^{2} - x \leq 0}$ ， $B = {x | a x - 2 = 0}$ ，若 $B ⊆ A$ ，则实数 $a$ 的值组成的集合为．

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14. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{1 - 2^{x}}}{| x | - 1}$ 的定义域为．

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15. 已知 $p ： \frac{4}{10 - x} \geq 1$ ， $q ： x > 1$ ， $r ： a < x < 2 a$ ．若 $r$ 是 $p$ 的必要不充分条件，且 $r$ 是 $q$ 的充分不必要条件，则实数 $a$ 的取值范围为．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a x - 1 ， x < 1 ， \\ x^{2} - 2 a x ， x \geq 1 \end{array}$ 的值域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围为．

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四、解答题

17. 化简求值：

(1)、 $\frac{\sqrt{{(a b^{- 1})}^{3}}}{{(a^{3} b^{- 3})}^{\frac{1}{2}}} (a > 0 ， b > 0)$ ；

(2)、 $8^{\frac{2}{3}} - {(- \frac{7}{8})}^{0} + \sqrt[4]{(3 - π)^{4}} + {(\frac{1}{4})}^{- \frac{1}{2}}$ ．

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18. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - a x$ ，且 $f (- 1) = 2$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、画出 $f (x)$ 的图象，并根据图象写出 $f (x)$ 的单调区间（直接写出，无需证明）．

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19. 已知集合 $A = {x | x - \sqrt{x} - 2 < 0}$ ， $B = {x | a + 1 < x < 2 a - 1}$ ．

(1)、若 $\forall x \in A$ ，均有 $x \notin B$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $\emptyset ⫋ B$ ，设 $p ： \exists x \in B$ ， $x \notin A$ ，求证： $a > \frac{5}{2}$ 是 $p$ 成立的必要条件．

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20. 某企业投资144万元用于火力发电项目， $n (n \in N_{+})$ 年内的总维修保养费用为（ $4 n^{2} + 40 n$ ）万元，该项目每年可给公司带来100万元的收入．假设到第n年年底，该项目的纯利润为y万元．（纯利润＝累计收入－总维修保养费用－投资成本）

(1)、写出纯利润y的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利；

(2)、随着中国光伏产业的高速发展，集群效应及技术的不断革新带来了成本的进一步降低．经过慎重考虑，该公司决定投资太阳能发电项目，针对现有火力发电项目，有以下两种处理方案：
①年平均利润最大时，以12万元转让该项目；
②纯利润最大时，以4万元转让该项目．
你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由．

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21. 已知不等式 $(1 + k) x \leq k^{2} + k + 4$ ，其中 $x$ ， $k \in R$ ．

(1)、若 $x = 3$ ，解上述关于 $k$ 的不等式；

(2)、若不等式对 $\forall k \in [- 4 ， + \infty)$ 恒成立，求 $x$ 的取值范围．

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22. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 和奇函数 $g (x)$ 满足 $f (x) + g (x) = 2^{x}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的解析式；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 在定义域上的单调性；

(3)、求函数 $h (x) = f (g (x)) + g (f (x))$ 的最小值．

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