河南省名校联盟2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ， $B = {- 1 ， - 2 ， 1 ， 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 1}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${- 2 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 1 ， 2}$

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2. 命题“ $\exists x \in Z$ ， ${(x + 1)}^{2} \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \notin Z$ ， $(x + 1)^{2} \geq 0$ B、 $\forall x \notin Z$ ， $(x + 1)^{2} < 0$ C、 $\forall x \in Z$ ， $(x + 1)^{2} \geq 0$ D、 $\forall x \in Z$ ， $(x + 1)^{2} > 0$

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3. “ $x - 1 > 0$ ”是“ $x^{2} - 1 > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 1 & (x \leq 0) \\ - \frac{2}{x} & (x > 0) \end{array}$ ，则 $f [f (1)] =$ （）

A、5 B、-5 C、-2 D、2

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5. 函数 $y = (3 - x)^{0} + \frac{1}{\sqrt{2 x + 3}}$ 的定义域为（）

A、 $[- \frac{3}{2} ， + \infty)$ B、 $(- \frac{3}{2} ， 3) \cup (3 ， + \infty)$ C、 $[- \frac{3}{2} ， 3) \cup (3 ， + \infty)$ D、 $(3 ， + \infty)$

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6. 设 $f (x) = - x^{3} + (a - 2) x^{2} + x$ 是定义在 $[2 b ， b + 3]$ 上的奇函数，则 $f (a \cdot b) =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{a}{x^{2} + 1} ， x \leq 0 ； \\ (2 - a) x + 3 a - 1 ， x > 0 . \end{array}$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上是增函数，则实数a的取值范围为（）

A、 $(2 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 2]$ C、 $[\frac{1}{2} ， 2)$ D、 $(0 ， \frac{1}{2}]$

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8. 设集合 $A = {x | \frac{a x + 4}{x - a} < 0}$ ，若 $2 \in A$ ，且 $4 \notin A$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， 2)$ B、 $(2 ， 4]$ C、 $(- \infty ， - 2) \cup [4 ， + \infty)$ D、 $\emptyset$

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二、多选题

9. 给出下列四个关系式，其中正确的是（）

A、 $2022 \in R$ B、 $0 \in \emptyset$ C、 $Z \in Q$ D、 $\emptyset \underset{\neq}{\subset} {0}$

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10. 已知函数 $f (x) = | \frac{x - 1}{x} |$ ，则表达正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(- \infty ， 0)$ ， $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ 为函数 $f (x)$ 的单调递增区间 C、函数 $f (x)$ 有最小值，无最大值 D、函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (- x) = - 2$

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11. 下列四个结论中，正确的是（）

A、当 $x \geq 2$ 时，函数 $y = x + \frac{2}{x}$ 的最小值为3 B、若 $x > 2$ ， y>1，x+y=4，则函数 $\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{y - 1}$ 的最小值为4 C、当 $x > 1$ 时，函数 $y = x + \frac{2}{x - 1}$ 有最小值为 $1 + 2 \sqrt{2}$ D、当 $x < 0$ 时，函数 $y = 2 \sqrt{2} - x - \frac{2}{x}$ 的是大值为0

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12. 给出下列命题，其中正确的命题是（）

A、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[0 ， 2]$ ，则函数 $f (\sqrt{2 x})$ 的定义域为 $[0 ， 4]$ B、函数 $f (x)$ 为R上的偶函数，且在 $(- \infty ， 0]$ 上单调递增，则 $f (- a^{2} + 2 a - 5) \leq f (4)$ C、若定义在R上的奇函数 $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， 0]$ 上是单调递减函数，则 $f (x)$ 在R上是单调递减函数 D、函数 $f (x)$ 的定义域为D，若对D中任取的两个不等的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，均有 $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) < x_{1} f (x_{2}) + x_{2} f (x_{1})$ ，则 $f (x)$ 是D上的单调递减函数

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三、填空题

13. 已知全集 $U = {- 1 ， - 2 ， - 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，集合 $A = {- 1 ， - 2 ， 4}$ ， $B = {- 3 ， 6}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B) =$ ．

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14. 不等式 $a x^{2} - \frac{1}{a} x + b < 0$ 的解集为 $(- \infty ， - 2) \cup (3 ， + \infty)$ ，则 $a + b =$ ．

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15. 已知实数x，y满足 $- 3 \leq 4 x - y \leq 3$ ， $2 \leq 2 x + y \leq 9$ ，则 $5 x + y$ 的范围为．

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16. 定义在R上的偶函数 $f (x)$ ，当 $x \in (- \infty ， 0]$ 时， $f (x)$ 单调递减，则 $f (2 x + 3) < f (1 - x)$ 的解集为．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | - 2 < x \leq 5}$ ， $B = {x | | 2 x - 3 | < 3}$ ， $C = {x | x > a}$ ．

(1)、求 $A ∩ (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A ∪ C = C$ ，求实数a的取值范围．

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18. 定义域为 $[- 2 ， 2]$ 的奇函数 $f (x)$ 满足，当 $x \in (0 ， 2]$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - x ， x \in (0 ， 1] ， \\ - x + 1 ， x \in (1 ， 2] . \end{array}$

(1)、求 $f (x)$ 的值域；

(2)、若 $x \in [- 2 ， 0)$ 时， $f (x) \geq t^{2}$ 有解，求实数t的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{x + 2}{x + 1}$ ．

(1)、求 $f (2) + f (\frac{1}{2})$ ；

(2)、判断 $f (x) + f (\frac{1}{x})$ 是否为定值，并求出 $f (1) + f (2) + f (3) + ⋯ + f (2022) + f (\frac{1}{2}) + f (\frac{1}{3}) +$ $⋯ + f (\frac{1}{2022})$ 的值．

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20. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的等腰梯形菜园ABCD， $B C ∥ A D$ ， $B C = x$ ， $A B = C D = y$ ．（单位：m）， $∠ B A D = ∠ C D A = 60 °$ ．

(1)、若篱笆的长度为12m，菜园的面积为 $12 \sqrt{3} m^{2}$ ，求x，y的值；

(2)、若要求菜园的面积为 $\frac{27 \sqrt{3}}{4} m^{2}$ ，求篱笆的长度的最小值．

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21. 已知定义在R上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 3) = \frac{x + a}{x^{2} + 6 x + 13}$ ．

(1)、求实数a的值；

(2)、当 $x \in (- 2 ， 2)$ 时，用定义证明函数 $f (x)$ 为单调递增函数；

(3)、当 $x \in (- 2 ， 2)$ 时，解不等式 $f (x + 2) + f (1 - 2 x) > 0$ ．

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22. 已知幂函数 $f (x) = (m - 2)^{2} \cdot x^{2 m - 3}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增．

(1)、求实数m的值；

(2)、若对 $\forall x \in [- 2 ， 2]$ ， $\exists a \in [- 2 ， 2]$ ，使得 $f (x) \leq a t^{2} + t + 2 a + 1$ 都成立，求实数t的取值范围.

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