河南省洛阳市2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ， $A = {0 ， 3}$ ， $B = {- 1 ， 2}$ ，则 $∁_{U} (A ∪ B)$ =（）

A、 ${- 2 ， - 1}$ B、 ${- 2 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 2}$ D、 ${1 ， 2}$

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2. 已知 $a > b > 0$ ，则（）

A、 $a b < b^{2}$ B、 $a + b > 2 a$ C、 $a^{3} < b^{3}$ D、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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3. 命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 \leq 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 \neq 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 \leq 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 > 0$

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4. 已知 $a = {(- \frac{1}{3})}^{- 1}$ ， $b = 3^{- \frac{1}{3}}$ ， $c = \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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5. 设 $p ： 2 < x < 3$ ， $q ： x > a$ ，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）

A、 $[2 ， + \infty]$ B、 $(- \infty ， 2]$ C、 $(- \infty ， 3]$ D、 $[3 ， + \infty]$

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6. 已知正数x，y满足 $x = 2 (1 - y)$ ，则xy的最大值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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7. 已知幂函数 $y = f (x)$ 过点 $(2 ， \sqrt{2})$ ，则 $f (x + 1) < 2$ 的解集为（）

A、 $[- 1 ， 4)$ B、 $[- 1 ， 1)$ C、 $[- 1 ， 3)$ D、 $(- \infty ， 3)$

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8. 若函数 $f (x) = \frac{x + 2}{x + a}$ 在区间 $[1 ， + \infty)$ 上单调递减，则实数a的取值范围是（）

A、(-1，2） B、 $(- \infty ， 2)$ C、(-2，1) D、 $(1 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 设全集为 $U$ ， $A ， B$ 为 $U$ 的子集，且 $A ⊆ B$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $A ∩ B = A$ B、 $A \cup B = B$ C、 $(∁_{U} A) \cap B = \emptyset$ D、 $(∁_{U} A) \cup B = U$

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10. 下列函数中最大值为2的是（）

A、 $y = \sqrt{x (4 - x)}$ B、 $y = x + \frac{1}{x}$ C、 $y = 2 - | x |$ D、 $y = {(\frac{1}{2})}^{| x |}$

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11. 已知[x]表示不超过x的最大整数，定义函数 $f (x) = [x]$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $f (x) \leq x < f (x) + 1$ B、函数是奇函数 C、方程 $f (x) = 1$ 有无数解 D、函数f（x）的值域为Z

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (0) = 0$ ．若 $y = f (x + 2) + 1$ 为奇函数， $y = f (x + 4)$ 为偶函数，则（）

A、 $f (4) = 0$ B、 $f (8) = 0$ C、 $f (1) + f (3) = 2$ D、 $f (1) = f (7)$

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三、填空题

13. 函数f（x）= $\sqrt{x + 1} + \frac{1}{x - 2}$ 的定义域为．

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14. 若函数 $f (x) = a - \frac{2}{2^{x} - 1}$ 为奇函数，则实数a= ．

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15. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表：
每户每月用水量
水价
不超过 $12 m^{3}$ 的部分
3元/ $m^{3}$
超过 $12 m^{3}$ 但不超过 $18 m^{3}$ 的部分
6元/ $m^{3}$
超过 $18 m^{3}$ 的部分
9元/ $m^{3}$
若某户居民本月交纳的水费为81元，则此户居民本月用水量为 $m^{3}$ ．

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16. 已知关于x的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(α ， β) (α β < 0)$ ，则关于x的不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为．

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四、解答题

17.

(1)、计算 ${(0.1)}^{- 2} + π^{0} - {(\frac{1}{36})}^{- \frac{1}{2}} + 3 2^{\frac{3}{5}}$ ；

(2)、化简 ${(\sqrt[3]{4 - π})}^{3} + {\sqrt{(3 - π)}}^{2}$ ．

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18. 已知集合 $A = {x | m - 2 < x < m + 2}$ ， $B = {x | x^{2} - 4 x \geq 0}$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $A \cup B$ ， $(∁_{R} A) ∩ B$ ；

(2)、若 $A ∩ B = A$ ，求实数m的取值范围．

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19. 给定函数 $f (x) = x + 4$ ， $g (x) = x^{2} - 2 x$ ， $x \in R$ ． $\forall x \in R$ ，用 $m (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的最小者，记为 $m (x) = m i n {f (x) ， g (x)}$ ．

(1)、请用图象法和解析法表示函数 $m (x)$ ；

(2)、根据图象说出函数 $m (x) (x \in [- 4 ， 4])$ 的单调区间及在每个单调区间上的单调性，并求此时函数 $m (x)$ 的最大值和最小值．

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20. 某医学研究所研发一种药物，据监测，如果成人在2h内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．每毫升血液中的药物含量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线，其中OA是线段，曲线段AB是函数 $y = k a^{t}$ （ $t \geq 2$ ， $a > 0$ ， k，a是常数）的图象，且 $A (2 ， 8)$ ， $B (4 ， 2)$ ．

(1)、写出注射该药后每毫升血液中药物含量y关于时间t的函数关系式；

(2)、据测定：每毫升血液中药物含量不少于1μg时治疗有效，如果某人第一次注射药物为早上8点，为保持疗效，第二次注射药物最迟是当天几点钟？

(3)、若按（2）中的最迟时间注射第二次药物，则第二次注射后再过1.5h，该人每毫升血液中药物含量为多少μg（精确到0.1μg）？

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21. 已知 $f (x) = a^{2 x} + a^{x} - 1$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）．

(1)、解关于x的不等式 $f (x) > 1$ ；

(2)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，且对 $\forall m \in [0 ， 2]$ ， $f (3 m^{2} + 2) < f (2 m^{2} + 3 m n)$ ，求实数n的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，对任意实数x，y， $f (x + y) = f (x) + f (y) + 2$ ．当 $x > 0$ 时， $f (x) < - 2$ ， $f (1) = - 6$ ．

(1)、求 $f (0)$ ， $f (- 1)$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性并加以证明；

(3)、解不等式 $f (x^{2}) - f (x + \frac{7}{4}) > 4$ ．

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每户每月用水量	水价
不超过 $12 m^{3}$ 的部分	3元/ $m^{3}$
超过 $12 m^{3}$ 但不超过 $18 m^{3}$ 的部分	6元/ $m^{3}$
超过 $18 m^{3}$ 的部分	9元/ $m^{3}$