河北省定州市2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列说法中正确的是（）
①某高级中学高一年级所有高个子男生能组成一个集合
② $a (6 - a) \leq 9$
③不等式 $- x^{2} + 3 x - 2 < 0$ 的解集为 ${x | 1 < x < 2}$
④在平面直角坐标系中，第二、四象限内的点构成的集合可表示为 ${(x ， y) | x y < 0 ， x \in R ， y \in R}$

A、①② B、②④ C、②③④ D、①③④

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2. 设 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，集合 $A = {1 ， 2 ， 4 ， 6}$ ，集合 $B = {2 ， 3 ， 5}$ ，则 $V e n n$ 图中阴影部分表示的集合的真子集个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $(8 ， 2 \sqrt{2})$ ，则 $f (27) =$ （）

A、3 B、 $3 \sqrt{3}$ C、9 D、 $9 \sqrt{3}$

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4. 下列选项中能表示同一个函数的是（）

A、 $y = x - 1$ 与 $y = \frac{x^{2}}{x} - 1$ B、 $y = \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x - 3}$ 与 $y = \sqrt{x^{2} - 9}$ C、 $f (x) = | x + 1 |$ 与 $g (x) = {\begin{array}{l} x + 1 ， x \geq - 1 \\ - 1 - x ， x < - 1 \end{array}$ D、 $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2}}}{x}$ 与 $g (x) = \frac{x}{{(\sqrt{x})}^{2}}$

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5. 若函数 $f (x)$ 满足 $f (a b) = f (a) \cdot f (b)$ ，且 $f (2) = 3$ ， $f (3) = 2$ ，那么 $f (18) =$ （）

A、18 B、12 C、11 D、7

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt[3]{2 - x}}{a x^{2} + a x + 2}$ 的定义域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $0 \leq a \leq 8$ B、 $0 \leq a < 8$ C、 $0 < a \leq 8$ D、 $0 < a < 8$

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7. 若定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，且 $f (3) = 0$ ，则满足 $x f (x - 2) \leq 0$ 的 $x$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - 1] \cup [5 ， + \infty)$ B、 $[- 3 ， 0] \cup [5 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1] \cup [2 ， 3]$ D、 $(- \infty ， - 1] \cup [0 ， 5]$

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8. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + 2 b = 1$ ，则 $\frac{b^{2} + a + 1}{2 a b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{13}{2}$ B、 $\frac{25}{2}$ C、 $6 + \sqrt{10}$ D、 $3 + \sqrt{10}$

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二、多选题

9. 已知 $a < b < 0$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $| a - 2 | > | b - 2 |$ B、 $a^{2} > a b > b^{2}$ C、 $\frac{2}{a + b} > - \frac{1}{\sqrt{a b}}$ D、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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10. 下列选项中说法错误的是（）

A、若函数 $f (x + 1)$ 的定义域为 $[1 ， 4]$ ，则函数 $f (2 x)$ 的定义域为 $[1 ， \frac{5}{2}]$ B、函数 $f (x) = - \frac{2}{x}$ 的单调递增区间是 $(- ∞ ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$ C、设 $x$ ， $y ∈ R$ ，则“ $x < y$ ”是“ $(x - y) \cdot y^{2} < 0$ ”的充要条件 D、函数 $y = \frac{x^{2} + 6}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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11. 一般地，若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[a ， b]$ ，值域为 $[k a ， k b]$ ，则称 $[a ， b]$ 为 $f (x)$ 的“ $k$ 倍跟随区间”；特别地，若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[a ， b]$ ，值域也为 $[a ， b]$ ，则称 $[a ， b]$ 为 $f (x)$ 的“跟随区间”.下列结论正确的是（）

A、若 $[1 ， b]$ 为 $f (x) = x^{2} - 2 x + 2$ 的跟随区间，则 $b = 3$ B、函数 $f (x) = 2 - \frac{3}{x}$ 不存在跟随区间 C、 $[0 ， 2]$ 是函数 $f (x) = | \frac{3}{2} x - 1 |$ 的一个跟随区间 D、二次函数 $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + x$ 存在“ $3$ 倍跟随区间”

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12. 已知正实数 $x$ ， $y$ 满足 $x + y = m x y + n$ ，则下列结论中正确的是（）

A、若 $m = 1$ ， $n = 0$ ，则 $x + y \leq 4$ B、若 $m = 1$ ， $n = 0$ ，则 $x y \geq 4$ C、若 $m = 0$ ， $n = 1$ ，则 $\frac{1}{2 x + y} + \frac{2}{y + 1} \geq \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{3}$ D、若 $m = 1$ ， $n = - 1$ ，则 $x + y ≥ 3 + 2 \sqrt{2}$

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三、填空题

13. 已知命题 $p ： \exists x > 0$ ，使得 $3 x^{2} + 2 x - 5 < 0$ ，则 $\neg p$ 为

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14. 若集合 $A = {x | x - 5 \sqrt{x} + 6 > 0}$ ， $B = {x | \frac{x - 5}{x - 1} \geq 2}$ ，则 $(∁_{R} A) ∪ B =$

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15. $[x]$ 符号表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[3.14] = 3$ ， $[- 1.6] = - 2$ ，关于函数 $f (x) = x - [x]$ 有下列结论：
① $f (- 0.8) = 0.2$ ；
②函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，值域为 $[0 ， 1]$
③ $\forall x \in R$ ， $f (x + 1) = f (x)$ ；
④函数 $f (x)$ 是增函数也是奇函数.
其中正确结论的序号是.

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16. 对于实数p，q，我们用符号 $m a x {p ， q}$ 表示p，q两数中较大的数，如 $m a x {1 ， 2} = 2$ ，因此 $m a x {- \sqrt{2} ， - \sqrt{3}} =$ ；若 $m a x {{(x - 1)}^{2} ， x^{2}} = 1$ ，则x=.

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四、解答题

17. 设函数 $f (x) = \sqrt{2 + x} + \frac{1}{\sqrt{4 - x}}$ 的定义域为集合 $A$ ，集合 $B = {x ∣ m + 1 \leq x \leq 2 m - 1} (m \geq 2)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域 $A$ ；

(2)、若 $p$ ： $x ∈ A$ ， $q$ ： $x ∈ B$ ，且 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = a x + \frac{b}{x}$ ，点 $A (1 ， 5)$ ， $B (2 ， 4)$ 是 $f (x)$ 图象上的两点.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上的单调性，并说明理由；

(3)、定义：区间 $[a ， b] (a < b)$ 的长度为 $b - a$ ，问是否存在区间 $[a ， b]$ ，使得 $x \in [a ， b]$ 时， $f (x) + 2$ 的值域为 $[6 ， 7]$ ，若存在，求出此区间长度的最大值.

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19. 已知正实数 $a$ ， $b$ 满足 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ .求

(1)、 $a + 2 b$ 的最小值；

(2)、 $\frac{4 a}{a - 1} + \frac{9 b}{b - 1}$ 的最小值；

(3)、 $16 a^{2} + b^{2} - 32 a - 2 b$ 的最小值.

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20. 函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x₁ ， x₂∈D，有f(x₁·x₂)＝f(x₁)＋f(x₂)．

(1)、求f(1)的值；

(2)、判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；

(3)、如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．

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21. 已知某电子公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元，设该公司一年内共生产该款手机 $x$ 万部并全部销售完，每万部的销售收入为 $R (x)$ 万美元，且 $R (x) = {\begin{array}{l} 400 - 6 x ， 0 < x ⩽ 40 ，且 x \in N^{*} \\ \frac{7400}{x} - \frac{40000}{x^{2}} ， x > 40 ，且 x \in N^{*} ， \end{array}$

(1)、写出年利润 $W$ （万美元）关于年产量 $x$ （万部）的函数解析式（利润=销售收入 $-$ 成本）；

(2)、当年产量为多少万部时，该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.

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22. 已知函数 $f (x) = (m + 1) x^{2} - m x + m - 1 (m \in R)$ .

(1)、若 $f (x) = (m + 1) x^{2} - m x + m - 1$ 在 $[1 ， 2]$ 上是单调函数，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq m$ .

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