广西柳州市六校2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $x - 3 y + 4 = 0$ 的斜率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、3 C、 $- 3$ D、 $- \frac{1}{3}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2 ， 3) ， \vec{b} = (2 ， x ， - 4)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $x$ 的值为（）

A、8 B、7 C、-7 D、14

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3. 空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，已知两点 $P_{1} (1 ， 1 ， 0)$ ， $P_{2} (- 2 ， 1 ， 3)$ ，则这两点间的距离为（）

A、 $\sqrt{21}$ B、 $\sqrt{22}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、18

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4. 两条平行直线 $6 x + 8 y - 1 = 0$ 与 $6 x + 8 y - 9 = 0$ 间的距离等于（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{10}$

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5. 平面直角坐标系中点 $P (0 ， - 1)$ 到直线 $y = x - 3$ 的距离为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$

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6. 若直线 $l_{1} ： m x + y + 3 = 0$ 与直线 $l_{2} ： x - 2 y - 2 = 0$ 互相平行，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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7. 已知 $\vec{a} = (1 ， - 2 ， 1) ， \vec{b} = (- 1 ， 2 ， 3)$ ，则 $2 \vec{a} \cdot \vec{b}$ $=$ （）

A、 $- 4$ B、 $- 3$ C、 $- 2$ D、 $- 1$

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8. 圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $C_{2} ： (x - 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 9$ 的位置关系为（）

A、内含 B、外离 C、相交 D、外切

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二、多选题

9. 已知直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）

A、若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则斜率 $k_{1} = k_{2}$ B、若斜率 $k_{1} = k_{2}$ ，则 $l_{1} / / l_{2}$ C、若倾斜角 $α_{1} = α_{2}$ ，则 $l_{1} / / l_{2}$ D、若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则倾斜角 $α_{1} = α_{2}$

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10. 以下命题正确的是（）

A、直线l的方向向量为 $\vec{a} = (1 ， - 1 ， 2)$ ，直线m的方向向量 $\vec{b} = (1 ， 2 ， 1)$ ，则 $l ⊥ m$ B、直线l的方向向量 $\vec{a} = (0 ， 1 ， - 1)$ ，平面 $α$ 的法向量 $\vec{n} = (1 ， - 1 ， - 1)$ ，则 $l ⊥ α$ C、两个不同平面 $α$ ， $β$ 的法向量分别为 $\vec{n_{1}} = (2 ， - 1 ， 0)$ ， $\vec{n_{2}} = (- 4 ， 2 ， 0)$ ，则 $α / / β$ D、平面 $α$ 经过三点 $A (1 ， 0 ， - 1)$ ， $B (0 ， 1 ， 0)$ ， $C (- 1 ， 2 ， 0)$ ，向量 $\vec{n} = (1 ， u ， t)$ 是平面 $α$ 的法向量，则 $u + t = 1$

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11. 已知方程 $x^{2} + y^{2} + 2 x - m = 0$ ，下列叙述正确的是（）

A、方程表示的是圆. B、当 $m = 0$ 时，方程表示过原点的圆. C、方程表示的圆的圆心在 $x$ 轴上. D、方程表示的圆的圆心在 $y$ 轴上.

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12. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $B B_{1}$ 的中点F为 $A_{1} D_{1}$ 的中点，如图建系，则下列说法正确的有（）

A、 $A C_{1} = 3 \sqrt{2}$ B、向量 $\vec{A E}$ 与 $\vec{A F}$ 所成角的余弦值为 $\frac{2}{5}$ C、平面 $A E F$ 的一个法向量是 $(4 ， - 1 ， 2)$ D、点D到直线 $E F$ 的距离为 $\frac{\sqrt{174}}{6}$

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三、填空题

13. 若 $\vec{A B} = (1 ， 4 ， - 2)$ ，则 $| \vec{A B} | =$ ．

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14. 已知 $A (3 ， 2 ， - 4)$ ， $B (5 ， - 2 ， 2)$ ，则线段 $A B$ 中点的坐标为．

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15. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $\vec{C A} = \vec{a} ， \vec{C B} = \vec{b} ， \vec{C C_{1}} = \vec{c} ，$ ，则 $\vec{A_{1} B}$ =.(用 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 表示)

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16. 如果直线 $l ： x + y - b = 0$ 与曲线 $C ： y = - \sqrt{1 - x^{2}}$ 有公共点，那么 $b$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知直线 $l_{1}$ 经过点 $B (2 ， 3)$ ，倾斜角是 $4 5^{∘}$ ，直线 $l_{2} ： y - 2 x + 1 = 0$ ．求：

(1)、直线 $l_{1}$ 的一般式方程．

(2)、直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2}$ 的交点坐标．

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18. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ ．

(1)、求圆 $C$ 的圆心坐标及半径；

(2)、若已知点 $M (3 ， 1)$ ，求过点 $M$ 的圆 $C$ 的切线方程．

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C ， A B ⊥ A C ， A B = A C = A A_{1} = 1 ， M$ 为线段 $A_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $B M ⊥ A B_{1}$ ；

(2)、求直线 $A B_{1}$ 与平面 $B C M$ 所成角大小．

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20. 已知动点 $M$ 到点 $A (8 ， 0)$ 的距离是到点 $B (2 ， 0)$ 的距离的两倍．求：

(1)、动点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、若 $N$ 为线段 $A M$ 的中点，试求点 $N$ 的轨迹．

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21. 如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 是正方形.四边形 $A D P Q$ 是梯形 $P D // Q A$ ， $∠ P D A = \frac{π}{2}$ ，平面 $A D P Q ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $A D = P D = 2 Q A$ .

(1)、求证： $Q B //$ 平面 $P D C$ ；

(2)、求二面角 $C - P B - D$ 的大小.

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22. 已知圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ ，直线 $l ： (2 m + 1) x + (m + 1) y - 7 m - 4 = 0$ .

(1)、求证：直线 $l$ 恒过定点；

(2)、直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时 $m$ 的值以及最短弦长.

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