辽宁省抚顺市六校协作体2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {x \in N | x < 5}$ ，集合 $A = {x | x^{2} = 3 x - 2}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${3 ， 4}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${0 ， 3 ， 4}$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$

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2. 若 $t a n (α - β) = \frac{1}{2}$ ， $t a n (α + 2 β) = \frac{1}{4}$ ，则 $t a n (2 α + β) =$ （）

A、 $\frac{6}{7}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{7}{6}$ D、 $\frac{3}{2}$

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3. 已知 $P = a^{2} - 2 a b + 1$ ， $Q = 1 - b^{2}$ ，则“ $a \neq b$ ”是“ $P > Q$ ”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 复数 $z = \frac{3 - i}{(1 - i)^{10}}$ 的实部为（）

A、 $- \frac{3}{32}$ B、 $- \frac{1}{32}$ C、 $\frac{3}{32}$ D、 $\frac{1}{32}$

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5. 在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线， $\vec{A D} = - 2 \vec{A E}$ ，则 $\vec{E B} =$ （）

A、 $\frac{4}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$ B、 $\frac{4}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ C、 $\frac{5}{4} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A C}$ D、 $\frac{5}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$

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6. 现有一个圆柱形空杯子，盛液体部分的底面半径为2cm，高为8cm，用一个注液器向杯中注入溶液，已知注液器向杯中注入的溶液的容积V（单位：ml）关于时间（单位：s）的函数解析式为 $V = π t^{3} + 3 π t^{2} (t \geq 0)$ ，不考虑注液过程中溶液的流失，则当 $t = 2$ 时，杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（）

A、4 cm/s B、5 cm/s C、6 cm/s D、7cm/s

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7. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，E，F分别是棱BC， $A_{1} C_{1}$ 的中点，若异面直线 $A A_{1}$ 与EF所成的角是45°，则该三棱柱的侧面积与表面积的比值是（）

A、 $\frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{3 - \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{3 - \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$

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8. 对任意的正实数 $x$ ， $y$ ， $\sqrt{x} + \sqrt{5 y} \leq k \sqrt{x + y}$ 恒成立，则 $k$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{10}$

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二、多选题

9. 一个锐角三角形的三边长为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值可能为（）

A、 $a = 4$ ， $b = 5$ ， $c = 6$ B、 $a = l o g_{6} 4$ ， $b = l o g_{6} 9$ ， $c = 2^{1.1}$ C、 $a = 3$ ， $b = 5$ ， $c = 6$ D、 $a = 4$ ， $b = 6$ ， $c = 5 \sqrt{2}$

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10. 已知函数 $f (x) = A c o s (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列判断错误的是（）

A、 $g (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、 $g (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ C、 $g (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 对称 D、 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调递减

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11. 已知函数 $f (x) = a (x - \frac{1}{x}) + b l g x + c$ （ $c$ 为整数），若 $f (l g 2) = 3$ ，则 $f (l o g_{2} 10)$ 的值可能是（）

A、－3 B、0 C、1 D、5

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12. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = 2 A B = 2 A A_{1} = 4$ ， $E$ ， $F$ 分别是棱 $A D$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点，点 $P$ 在侧面 $A_{1} A D D_{1}$ 内，且 $\vec{B P} = x \vec{B E} + y \vec{B F} (x ， y \in R)$ ，则三棱锥 $P - B B_{1} F$ 外接球表面积的取值可能是（）

A、 $10 π$ B、 $20 π$ C、 $12 π$ D、 $44 π$

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三、填空题

13. 已知复数 $z$ 满足 $2 \bar{z} = z \cdot i + 3$ ，则 $| z | =$ .

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14. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题．现将正自然数中，能被3除余1且被2除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ${a_{n}}$ ，则 $a_{20} =$ ．

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15. 在空间直角坐标系 $O x y z$ 中， $A (1 ， 2 ， 1)$ ， $B (2 ， 1 ， m)$ ， $C (0 ， 1 ， 2)$ ，若点 $C$ 到直线 $A B$ 的距离不小于 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ ，写出一个满足条件的 $m$ 的值：.

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16. 函数 $f (x) = 9 l n x + \frac{e^{2 x}}{x} - 18 x$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 在等比数列{ $a_{n}$ }中， $a_{1} + a_{2} = 5 a_{2} = \frac{5}{4}$ ．

(1)、求{ $a_{n}$ }的通项公式；

(2)、求数列{ $\frac{3}{4} a_{n} + 2 n - 1$ }的前n项和Sn．

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18. 已知函数 $f (x) = A s i n ω x (A > 0 ， 0 < ω < 10) ， g (x) = A c o s ω x$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $A ， ω$ 的值；

(2)、试问正弦曲线 $y = s i n x$ 经过怎样的变换可以得到曲线 $y = f (x) - g (x)$ ？

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19. 如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中， $B E ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $B C ∥ A D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = B C = 1$ ， $A D = B E = 3$ .

(1)、求异面直线 $A E$ 与 $C D$ 所成角的余弦值；

(2)、求平面 $C D E$ 与平面 $A B E$ 夹角的余弦值.

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20. “我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田里玩，几千几万的小孩子，附近没有一个大人，我是说，除了我．”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块平面四边形 $A B C D$ 的麦田里成为守望者．如图所示，为了分割麦田，他将B，D连接，经测量知 $A B = B C = C D = \sqrt{6}$ ， $A D = 3 \sqrt{2}$ ．

(1)、霍尔顿发现无论 $B D$ 多长， $\sqrt{3} c o s A - c o s C$ 都为一个定值，请你证明霍尔顿的结论，并求出这个定值；

(2)、霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和呈正相关关系，记 $△ A B D$ 与 $△ C B D$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出 $S_{1}^{2} + S_{2}^{2}$ 的最大值．

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21. 如图，菱形 $A B C D$ 的边长为2， $∠ B A D = 60 °$ ， E为AB的中点.将 $△ A D E$ 沿DE折起，使A到达 $A^{'}$ ，连接 $A^{'} B$ ， $A^{'} C$ ，得到四棱锥 $A^{^{'}} - B C D E$ .

(1)、证明： $D E ⊥ A^{^{'}} B$ ；

(2)、当二面角 $A^{'} - D E - B$ 在 $[\frac{π}{3} ， \frac{2 π}{3}]$ 内变化时，求直线 $A^{'} C$ 与平面 $A^{^{'}} D E$ 所成角的正弦值的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = 1 - \frac{a x^{3}}{e^{x}} (a \neq 0)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上的单调性；

(2)、若不等式 $2 e^{x} f (x) \geq x^{3} l n x + x^{2} + 3 x$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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