湖南省邵阳市武冈市2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | x (x - 1) \leq 0} ， B = {x | 2^{x} > \sqrt{2}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[0 ， 1]$ B、 $[0 ， 1)$ C、 $(\frac{1}{2} ， 1]$ D、 $(\frac{1}{2} ， 1)$

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2. 若“ $\exists x \in R$ ，使得 $s i n x - \sqrt{3} c o s x = a$ ”为假命题，则实数a的取值范围是（）

A、 $[- 2 ， 2]$ B、 $(- 2 ， 2)$ C、 $(- \infty ， - 2] ∪ [2 ， + \infty)$ D、 $(- ∞ ， - 2) \cup (2 ， + ∞)$

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3. 欧拉公式 $e^{i θ} = c o s θ + i s i n θ$ 把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足 $(e^{i π} + i) \cdot z = 1$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、 $- 1$

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4. 如图，函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 图象与x轴交于 $R (\frac{5}{6} ， 0)$ ，与y轴交于P，其最高点为 $Q (\frac{1}{3} ， A)$ ．若 $P Q ⊥ P R$ ，则A的值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、2

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5. 已知 $f (x) = 2 x^{3} + (a - 2) x^{2} - 3 x$ 是奇函数，则过点 $P (- 1 ， 2)$ 向曲线 $y = f (x)$ 可作的切线条数是（）

A、1 B、2 C、3 D、不确定

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6. 已知 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 满足： $s i n A_{1} = c o s A_{2}$ ， $s i n B_{1} = c o s B_{2}$ ， $s i n C_{1} = c o s C_{2}$ ，则（）

A、 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 是钝角三角形， $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 是锐角三角形 B、 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 是锐角三角形， $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 是钝角三角形 C、两个三角形都是锐角三角形 D、两个三角形都是钝角三角形

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7. 设函数 $f (x) = x^{2} + 2 a x + a^{2} - 2 a + 3$ ，若对于任意的 $x \in R$ ，不等式 $f (f (x)) \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \geq \frac{3}{2}$ B、 $a \leq 2$ C、 $\frac{3}{2} < a \leq 2$ D、 $a \leq \frac{3}{2}$

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8. 若 $a = e^{0.6}$ ， $b = 2 e l n 1.2$ ， $c = 1 . 2^{e} - 0.21$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $b > a > c$ B、 $c > a > b$ C、 $a > b > c$ D、 $a > c > b$

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二、多选题

9. 下面命题正确的是（）

A、“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的充分不必要条件 B、“ $a = 0$ ”是“函数 $f (x) = s i n x - \frac{1}{x} + a$ 为奇函数”的充分不必要条件 C、 $△ A B C$ 中， $s i n A > c o s B$ 是 $△ A B C$ 为锐角三角形的必要不充分条件 D、已知偶函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增，则对实数 $a$ ， $b$ ， “ $a > | b |$ ”是“ $f (a) > f (b)$ ”的充分不必要条件

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10. 已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $0 < a < b < c$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{1}{a (c - a)} > \frac{1}{b (c - a)}$ B、 $\frac{b}{a} > \frac{b + c}{a + c}$ C、 $a b + c^{2} > a c + b c$ D、 $(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$ 的最小值为4

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11. 已知函数 $f (x) = | \sin (\cos x) | + | \cos (\sin x) |$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $π$ 为函数 $f (x)$ 的一个周期 B、直线 $x = \frac{π}{2}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 C、函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ 上单调递增 D、函数 $g (x) = f (x) + 2 x$ 有且仅有2个零点

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12. 已知函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ， $f^{'} (x) ， g^{'} (x)$ 分别为 $f (x) ， g (x)$ 的导函数， $f (x) + g^{'} (x) = 5$ ， $f (2 - x) - g^{'} (2 + x) = 5$ ，若 $g (x)$ 为奇函数，则下列等式一定成立的是（）

A、 $f (- 2) = 5$ B、 $g (x + 4) = g (x)$ . C、 $g^{'} (8 - x) = g^{'} (x)$ D、 $f^{'} (x + 8) = f^{'} (x)$

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三、填空题

13. $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{3} (x + 1) - 2 ， x \geq 0 \\ f (x + 3) ， x < 0 \end{array}$ 则 $f (- 2013) =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 a x^{2} + b x + a^{2}$ ，若 $x = - 1$ 时， $f (x)$ 取得极值0，则 $a b =$ .

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15. 被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展做出了巨大贡献，他所倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用.0.618就是黄金分割比 $m = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的近似值，黄金分割比还可以表示成 $2 s i n 18 °$ ，则 $\frac{m \sqrt{4 - m^{2}}}{1 - 2 \sin^{2} 27^{\circ}} =$ ．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n - 1} = a_{n} + a_{n - 2}$ （ $n \geq 3$ ），设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{4} = 2$ ， $S_{5} = 2$ ，则 $S_{2023} =$ .

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} = 4$ ， $a_{1} + a_{5} = 14$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若等比数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $b_{1} = a_{1}$ ， $b_{3}^{2} = a_{6}$ ， $b_{n + 1} > b_{n}$ ，求满足 $S_{n} < 2022$ 的n的最大值．

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18. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是边长为2的正三角形， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A A_{1} = 2$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点.

(1)、证明： $B C_{1} / /$ 平面 $A_{1} D C$ ；

(2)、求异面直线 $B C_{1}$ 与 $A_{1} C$ 所成角的余弦值．

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19. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $△ B C D$ 的面积是 $△ A B D$ 的面积的 $2 \sqrt{3}$ 倍． $∠ D B C = 2 ∠ A B D$ ， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ．

(1)、求 $∠ A B D$ 的大小；

(2)、若点 $E ， D$ 在直线 $A C$ 同侧， $∠ A E C = \frac{π}{3}$ ，求 $A E + E C$ 的取值范围．

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20. 已知动圆 $P$ 过点 $F_{2} (2 ， 0)$ 并且与圆 $F_{1} ： {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 相外切，动圆圆心 $P$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的轨迹方程；

(2)、过点 $F_{2} (2 ， 0)$ 的直线 $l_{1}$ 与轨迹 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，设直线 $l ： x = \frac{1}{2}$ ，点 $D (- 1 ， 0)$ ，直线 $A D$ 交 $l$ 于 $M$ ，求证：直线 $B M$ 经过定点 $(1 ， 0)$ .

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21. 在检测中为减少检测次数，我们常采取“ $n$ 合1检测法”，即将 $n$ 个人的样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样本均未感染病毒；若为阳性，则改需对本组的每个人再做检测．现有 $10 k (k \in N^{*})$ 人，已知其中有2人感染病毒．

(1)、若 $k = 5$ ，并采取“10合1检测法”，求共检测15次的概率；

(2)、设采取“5合1检测法”的总检测次数为 $X$ ，采取“10合1检测法”的总检测次数为 $Y$ ，若仅考虑总检测次数的期望值，当 $k$ 为多少时，采取“10合1检测法”更适宜？请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} + a x^{2}}{x + 1}$ 有三个极值点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、求证： $x_{1} + x_{2} + x_{3} > - 2$ .

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