福建省三明市教研联盟校2023届高三上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = (- \infty ， - 2] ∪ [3 ， + \infty)$ ，则 $(∁_{R} A) ∩ Z =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ C、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知 $i$ 是虚数单位， $a \in R$ ，则“复数 $(a + i)^{2}$ 为纯虚数”是“ $a = 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 同时具有以下性质：“①最小正周期是 $π$ ：②在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6}]$ 上是增函数”的一个函数是（）

A、 $y = s i n (2 x - \frac{π}{6})$ B、 $y = s i n (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ C、 $y = c o s (2 x + \frac{π}{3})$ D、 $y = c o s (2 x - \frac{π}{6})$

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4. 定义：24小时内降水在平地上积水厚度（ $mm$ ）来判断降雨程度．其中小雨（ $< 10 mm$ ），中雨（ $10 mm - 25 mm$ ），大雨（ $25 mm - 50 mm$ ），暴雨（ $50 mm - 100 mm$ ），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）

A、小雨 B、中雨 C、大雨 D、暴雨

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5. 将数字1，2，3，4，5这五个数随机排成一列组成一个数列，则该数列为先减后增数列的概率为（）

A、 $\frac{1}{20}$ B、 $\frac{7}{60}$ C、 $\frac{1}{12}$ D、 $\frac{7}{24}$

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6. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”我们可以把 $(1 + 1 %)^{365}$ 看作是每天的“进步”率都是 $1 %$ ，一年后是 $(1 + 1 %)^{365} \approx 37.7834$ ；而把 $(1 - 1 %)^{365}$ 看作是每天“退步”率都是 $1 %$ ，一年后是 $(1 - 1 %)^{365} \approx 0.0255$ .若经过200天，则“进步”的值大约是“退步”的值的（）（参考数据： $l g 101 \approx 2.0043 ， l g 99 \approx 1.9956 ， 1 0^{0.87} \approx 7.41$ ）

A、45倍 B、50倍 C、55倍 D、60倍

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7. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，并满足条件 $a_{1} > 1 ， a_{2019} a_{2020} > 1$ ， $\frac{a_{2019} - 1}{a_{2020} - 1} < 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $S_{2019} > S_{2020}$ B、 $T_{2020}$ 是数列 ${T_{n}}$ 中的最大值 C、 $a_{2019} a_{2021} - 1 < 0$ D、数列 ${T_{n}}$ 无最大值

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8. 对任意 $x \in (0 ， 2 e) ， | x - a | l n x \leq e$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(e ， 2 e)$ B、 $[\frac{3 e}{2} ， 2 e]$ C、 $(2 e - \frac{e}{l n (2 e)} ， 2 e)$ D、 $[2 e - \frac{e}{l n (2 e)} ， 2 e]$

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二、多选题

9. 下列说法正确的有（）

A、若事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥，则事件 $A$ 与事件 $B$ 对立 B、若随机变量 $X ∼ B (10 ， \frac{1}{3})$ ，则方差 $D (3 X + 2) = 20$ C、若随机变量 $X ∼ N (1 ， σ^{2})$ ， $P (X < 4) = 0.79$ ，则 $P (X < - 2) = 0.21$ D、以模型 $y = c e^{k x}$ 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 $z = l n y$ ，求得线性回归方程为 $\hat{z} = - 4 x + 4$ ，则 $c ， k$ 的值分别是 $e^{4}$ 和 $- 4$

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10. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{2} ， 1) ， \vec{b} = (c o s θ ， s i n θ) (0 < θ < π)$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $\vec{a} · \vec{b}$ 的最大值为 $\sqrt{3}$ B、存在 $θ$ ，使得 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} |$ C、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $t a n θ = \sqrt{2}$ D、若 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $- \frac{\sqrt{3}}{6} \vec{a}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$

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11. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $P$ 是线段 $B C_{1}$ 的中点，点 $M ､ N$ 是线段 $B_{1} D_{1}$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A、三棱柱 $A A_{1} D_{1} - B B_{1} C_{1}$ 的体积为 $\frac{1}{6}$ B、 $A_{1} P$ $∥$ 平面 $A C D_{1}$ C、 $A D_{1}$ 与平面 $B M N$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ D、点 $A_{1}$ 到平面 $A B_{1} D_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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12. 意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2} (n \geq 3 ， n \in N^{*})$ .若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前 $n$ 项所占的格子的面积之和为 $S_{n}$ ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为 $c_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $S_{n + 1} = a_{n + 1}^{2} + a_{n + 1} \cdot a_{n}$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n} = a_{n + 2} - 1$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{2 n - 1} = a_{2 n} - 1$ D、 $4 (c_{n} - c_{n - 1}) = π a_{n - 2} \cdot a_{n + 1}$

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三、填空题

13. 已知 $(x + 1) (x - 1)^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{0} + a_{3}$ 的值为.

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14. 将函数 $f (x) = c o s (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到偶函数 $g (x)$ 的图象，则 $ω$ 的最小值是.

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15. 如图，已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，底面 $A B C$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形， $A_{1}$ 在底面 $A B C$ 的射影是 $△ A B C$ 的中心，且 $A A_{1} = 4 ， E$ 为 $B B_{1}$ 的中点， $F$ 在线段 $A_{1} C_{1}$ 上且 $A_{1} C_{1} = 3 C_{1} F$ ，过点 $A ， E ， F$ 作三棱柱的截面 $α$ ，若 $α$ 交 $B_{1} C_{1}$ 于点 $M$ ，则三棱锥 $M - B_{1} B A_{1}$ 外接球的表面积是.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 x ， x \leq 0 \\ | 1 + l n x | ， x > 0 \end{array}$ ，若存在互不相等的实数 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 使得 $f (a) = f (b) = f (c) = f (d) = m$ ，则（1）实数 $m$ 的取值范围为；（2） $a + b + c + d$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 1$ ，且 $S_{n}$ 是 $- 1$ 与 $a_{n + 1}$ 的等差中项.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = {log}_{3} a_{2 n}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} \cdot b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} - b x + 1$ ，其中 $a > 0$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 的单调减区间为 $(- \frac{1}{3} ， 1)$ ，求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若 $b = a^{2}$ ，已知曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- a ， f (- a))$ 处的切线与 $y$ 轴的交点为 $(0 ， m)$ ，求 $m + \frac{9}{a}$ 的最小值．

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19. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝ $\sqrt{3}$ ，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.

(1)、若PB＝ $\frac{1}{2}$ ，求PA；

(2)、若∠APB＝150°，求tan∠PBA．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形， $∠ B A D = ∠ B P D = 60 °$ ， $P B = P D = 2$ .

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若二面角 $P - B D - A$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求二面角 $B - P A - D$ 的正弦值.

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21. 中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车､电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用.为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量 $y$ （单位：万台）关于 $x$ （年份）的线性回归方程为 $y = 4.7 x - 9459.2$ ，且销量 $y$ 的方差为 $S_{y}^{2} = \frac{254}{5}$ ，年份 $x$ 的方差为 $S_{x}^{2} = 2$ .
①参考数据： $\sqrt{5 \times 127} = \sqrt{635} \approx 25$ ；
②参考公式：（i）线性回归方程： $y = \hat{b} x + a$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， a = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；
（ii）相关系数： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，若 $r > 0.9$ ，则可判断 $y$ 与 $x$ 线性相关较强.
（iii） $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .附表：
$α$
$0.10$
$0.05$
$0.010$
$0.001$
$x_{α}$
$2.706$
$3.841$
$6.635$
$10.828$

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的相关系数 $r$ ，并据此判断电动汽车销量 $y$ 与年份 $x$ 的相关性强弱；

(2)、该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
性别
购买非电动汽车
购买电动汽车
总计
男性
39
6
45
女性
30
15
45
总计
69
21
90
依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关；

(3)、在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{a x} - x$ 与函数 $g (x) = x - \frac{1}{a} l n x ， a \in R .$

(1)、若 $f （ x ） > 0$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若曲线 $y = f （ x ）$ 与 $x$ 轴有两不同的交点，求证：两条曲线 $y = f （ x ）$ 与 $y = g （ x ）$ 共有三个不同的交点.

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$α$	$0.10$	$0.05$	$0.010$	$0.001$
$x_{α}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

性别	购买非电动汽车	购买电动汽车	总计
男性	39	6	45
女性	30	15	45
总计	69	21	90