北京市密云区2023届高三上学期数学阶段练习试卷

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1} ， B = {x | x (x - 1) \leq 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、{0} C、{1} D、 ${0 ， 1}$

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2. 在复平面内，若复数 $z$ 对应的点为 $(- 2 ， 1)$ ，则 $z (2 + i) =$ （）

A、 $- 5$ B、5 C、 $- 5 i$ D、 $5 i$

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3. 已知 $a < b < 0$ ，则下列不等式中成立的是（）

A、 $2^{a} < 2^{b}$ B、 $a b < b^{2}$ C、 $a^{2} < b^{2}$ D、 $\frac{a}{b} < 1$

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4. 下列函数中既是奇函数又在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = 2^{x}$ B、 $y = x + \frac{1}{x}$ C、 $y = x | x |$ D、 $y = l n | x |$

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5. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，下列结论正确的是（）

A、 $\vec{A B} = \vec{C D}$ B、 $\vec{A B} + \vec{D A} = \vec{B D}$ C、 $\vec{A B} - \vec{A D} = \vec{D B}$ D、 $\vec{A D} + \vec{B C} = \vec{0}$

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6. 已知 ${a_{n}}$ 是等比数列，则“ $0 > a_{1} > a_{2}$ ”是“ ${a_{n}}$ 为递减数列”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $< \vec{a} ， \vec{b} > =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8. 若曲线 $y = f (x)$ 在某点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（）

A、 $y = - \frac{1}{x}$ B、 $y = s i n x$ C、 $y = x e^{x}$ D、 $y = x + l n x$

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9. 已知角 $α$ 的终边绕原点 $O$ 逆时针旋转 $\frac{2}{3} π$ 后与角 $β$ 的终边重合，且 $c o s (α + β) = 1$ ，则 $α$ 的取值可以为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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10. 石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径 $88$ 米，总高约 $100$ 米，匀速旋转一周时间为 $18$ 分钟，配有 $42$ 个球形全透视 $360$ 度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差 $6$ 分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为（）

A、 $78$ 米 B、 $112$ 米 C、 $156$ 米 D、 $188$ 米

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二、填空题

11. 函数 $f (x) = \frac{l g x}{x - 2}$ 的定义域是.

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12. 已知向量 $\vec{a} = (m ， 2)$ ， $\vec{b} = (3 ， - 1)$ .若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $m =$ .

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13. 关于函数 $f (x) = s i n x - x c o s x$ ，给出下列四个结论：
① $f (x)$ 是奇函数；
②0是 $f (x)$ 的极值点；
③ $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 上有且仅有1个零点；
④ $f (x)$ 的值域是 $R$ .
其中，所有正确结论的序号为.

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} = 2^{n} (\frac{k n}{14} - 9)$ ，数列的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，当 $k = 0$ 时，求 $S_{3} =$ ；若数列的前 $n$ 项和最小值为 $S_{6}$ ，则此时 $k$ 可以为.

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $a = 4 \sqrt{3}$ ， $c = 4$ ， $∠ B A C = \frac{2}{3} π$ . $P$ 为 $△ A B C$ 内部（包含边界）的动点，且 $P A = 1$ .则 $| \vec{A C} + \vec{A B} | =$ ； $\vec{P B} \cdot \vec{P C}$ 的取值范围.

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三、解答题

16. 已知 ${a_{n}}$ 是等差数列，满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{4} = 12$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 4$ ， $b_{4} = 20$ ，且 ${b_{n} - a_{n}}$ 是等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

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17. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x (s i n x + c o s x) - a$ 的图象经过点 $(\frac{π}{2} ， 1) ， a \in R$ .

(1)、求 $a$ 的值，并求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，不等式 $f (x) \geq m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = 2 l n (1 - x) - \frac{1}{x}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 1 ， f (- 1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 的单调区间．

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19. $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，设 $△ A B C$ 面积为 $S$ ，已知下列四个条件中，只能同时满足其中三个，① $a = 1$ ；② $c o s A = c o s B = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ；③ $S = \frac{2}{5}$ ；④ $s i n C = \frac{4}{5}$ .

(1)、请指出这三个条件，并说明理由；

(2)、求 $△ A B C$ 的周长.

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20. 已知函数 $f (x) = (x^{2} + a x + a) e^{x}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的极小值；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq e^{a}$ 在 $[a ， + \infty)$ 上有解，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若曲线 $y = f (x)$ 存在两条互相垂直的切线，求实数 $a$ 的取值范围.（只需直接写出结果）

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21. 已知每项均为正整数的数列 $A ： a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， $⋯$ ， $a_{n}$ ，其中等于 $i$ 的项有 $k$ 个 $(i = 1 ， 2 ， 3 ⋯)$ ，设 $b_{j} = k_{1} + k_{2} + ⋯ + k_{j} (j = 1 ， 2 ， 3 ⋯)$ ， $g (m) = b_{1} + b_{2} + ⋯ + b_{m} - n m (m = 1 ， 2 ， 3 ⋯)$ ．

(1)、设数列 $A ： 1$ ， $2$ ， $1$ ， $4$ ，求 $g (1)$ ， $g (2)$ ， $g (3)$ ， $g (4)$ ， $g (5)$ ．

(2)、若数列 $A$ 满足 $a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n} - n = 100$ ，求函数 $g (m)$ 的最小值．

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