上海市闵行区2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　）

A、 $3 \sqrt{3}$ 与 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{8}$ 与 $\sqrt{2}$ C、 $- \sqrt{\frac{1}{3}}$ 与 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\sqrt{4 a}$ 与 $\sqrt{8 a}$

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2. $\sqrt{m + n}$ 的一个有理化因式是（）

A、 $\sqrt{m + n}$ B、 $\sqrt{m} + \sqrt{n}$ C、 $\sqrt{m} - \sqrt{n}$ D、 $\sqrt{m - n}$

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3. 下列选项中的数是一元二次方程 $x^{2} + x = 8 - x$ 的根的是（）

A、 $- 2$ B、5 C、 $- 4$ D、4

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2} = 5 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{7} \times 3 \sqrt{7} = 6 \sqrt{7}$ C、 $\sqrt{32} \div \sqrt{2} = 4$ D、 $\frac{1}{2 + \sqrt{5}} = 2 - \sqrt{5}$

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5. 下列命题中，假命题的是（）

A、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 B、面积相等的两个三角形全等 C、等腰三角形的顶角平分线垂直于底边 D、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角

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6. 已知a、b、c是三角形三边的长，则关于x的一元二次方程 $a x^{2} + 2 (b - c) x + a = 0$ 的实数根的情况是（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根； C、没有实数根 D、无法确定

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二、填空题

7. 分母有理化： $\frac{2}{\sqrt{5}} =$ ．

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8. 化简： $\sqrt{(π - 3)^{2}}$ = ．

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9. 设x是实数，要使得二次根式 $\sqrt{4 x - 1}$ 有意义，x应满足的条件是．

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10. 比较大小： $- \sqrt{12}$ $- 3 \sqrt{2}$ ．（填“>”“<”“=”）

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11. 已知 $a x^{2} + 4 x - 1 = 0$ 是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围为．

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12. 不等式 $- \sqrt{6} x - 1 > 0$ 的解集是．

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13. 方程 $x (x - 8) = - 7$ 的根是．

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14. 一种型号的电视，原来每台售价7500元，经过两次降价后，现在每台售价为4800元，如果每次降价的百分率相同，设每次降价百分率为x，那么根据题意可列出方程：．

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15. 在实数范围内分解因式： $x^{2} - 3 x - 1 =$ .

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16. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + m x - 3 = 0$ 的一个根是3，则该方程的另一个根是．

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17. 已知：如图， $A C = A D$ ，要使 $△ A C B ≌ △ A D B$ ，还需添加一个条件，这个条件可以是．写出一个即可）

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18. 阅读材料：在直角三角形中，斜边和两条直角边满足定理：两条直角边的平方和，等于斜边的平方，因此如果已知两条边的长，根据定理就能求出第三边的长，例如：在 $R t △ A B C$ 中，已知 $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，由定理得 $A C^{2} + B C^{2} = A B^{2}$ ，代入数据计算求得 $A B = 5$ ．
请结合上述材料和已学几何知识解答以下问题：
已知：如图， $∠ C = 90 °$ ， $A B ∥ C D$ ， $A B = 5$ ， $C D = 11$ ， $A C = 8$ ，点 $E$ 是 $B D$ 的中点，那么 $A E$ 的长为．

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三、解答题

19.

(1)、计算： $\sqrt{0.5} - 2 \sqrt{\frac{1}{8}} + \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}$ ；

(2)、计算： $\sqrt{54 x y} \cdot \sqrt{\frac{y^{2}}{6 x}} \div \sqrt{x^{2} y}$ （其中 $x > 0$ ）．

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20.

(1)、解方程： $2 {(x - 1)}^{2} = 3 (1 - x)$ ；

(2)、用配方法解方程： $3 x^{2} + 6 x - 2 = 0$ ．

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21. 已知： $x = \frac{2}{\sqrt{3} - 1}$ ，求代数式 $x^{2} - 2 x - 1$ 的值．

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22. 已知：a、b是实数，且满足 $\sqrt{a - \frac{3}{2}} + | b + 2 | = 0$ ，求关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + \frac{1}{2} = 0$ 的根．

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23. 如图，点 $D$ ， $E$ 在 $Δ A B C$ 的边 $B C$ 上， $A D = A E$ ， $B D = C E$ ，求证： $∠ B = ∠ C$ .

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24. 某小区为了美化环境，准备在一块长50米，宽42米的长方形场地上修筑内外宽度相等且互相垂直的道路，余下的部分作为草坪（图中阴影部分），若草坪的面积是1920平方米，求道路的宽度．

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25. 已知：如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ A B C$ 的平分线交 $A D$ 于点E，交 $A C$ 于点F， $A D ⊥ B C$ ，垂足为点D．

(1)、求证： $A E = A F$ ；

(2)、过点E作 $E G ∥ C D$ 交 $A C$ 于点G，过点F作 $F H ⊥ B C$ ，垂足为点H．
①请判断 $A F$ 与 $C G$ 的数量关系，并说明理由；
②当 $A E = B E$ 时，设 $B F = x$ ，试用含有x的式子表示 $G C$ 的长．

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