北京市房山区2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若分式 $\frac{x + 2}{x - 1}$ 的值为0，则实数x的值为（）

A、-2 B、-1 C、0 D、1

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2. 下列实数中，有理数是（　　）

A、 $\frac{22}{7}$ B、 $π$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt[3]{9}$

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3. 9的平方根是（）

A、 $3$ B、 $81$ C、 $\pm 3$ D、 $\pm 81$

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4. 如果将分式 $\frac{y}{2 x + y}$ （x，y均为正数）中字母的x，y的值分别扩大为原来的3倍，那么分式 $\frac{y}{2 x + y}$ 的值（　　）

A、不改变 B、扩大为原来的9倍 C、缩小为原来的 $\frac{1}{3}$ D、扩大为原来的3倍

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5. 下列运算结果正确的是（　　）

A、 $\sqrt{9} = \pm 3$ B、 $\sqrt{(- 5)^{2}} = - 5$ C、 $(- \sqrt{2})^{2} = 2$ D、 $\sqrt{6} \div \sqrt{2} = 3$

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6. 如果实数a= $\sqrt{11}$ ，且a在数轴上对应点的位置如图所示，其中正确的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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7. 下列各式中，最简二次根式是（　　）

A、 $\sqrt{0.2}$ B、 $\sqrt{18}$ C、 $\sqrt{x^{2} + 1}$ D、 $\sqrt{x^{2}}$

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8. 小凡遇到了这样一道题目：选择适当的x值，并求 $\frac{x + 1}{x}$ 代数式的值．他将同学们的答案进行了如下整理，并有3个大胆的猜测：
x
1
2
3
4
5
…
$\frac{x + 1}{x}$
2
$\frac{3}{2}$
$\frac{4}{3}$
$\frac{5}{4}$
$\frac{6}{5}$
…
①当 $x > 0$ 时，代数式 $\frac{x + 1}{x}$ 的值随着x的增大而越来越小；
②代数式 $\frac{x + 1}{x}$ 的值有可能等于1；
③当 $x < 0$ 时，代数式 $\frac{x + 1}{x}$ 的值随着x的减小而越来越接近于1．
推测正确的有（　　）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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二、填空题

9. 若代数式 $\sqrt{x - 2}$ 有意义，则x的取值范围为．

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10. 已知分式满足条件“只含有字母x，且当x=1时无意义”，请写出一个这样的分式：．

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11. 写出 $\sqrt{20}$ 的一个同类二次根式（注：被开方数不是20）．

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12. 学习了“分式的加减法”的相关知识后，小明同学画出了如图：
请问他画的图中①代表的计算步骤为， ②代表的计算步骤为．

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13. 若 $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ =3，则 $\frac{a + b}{2 a - a b + 2 b}$ 的值为．

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14. 在实数范围内，-1没有平方根的理由是．

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15. 如图，直径为1个单位长度的圆，在数轴上从表示 $- 1$ 的点A滚动一周到点B，则点B表示的无理数为．

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16. 如图所示，将两个边长为2的正方形沿虚线剪开（如图甲），拼接成一个大的正方形（如图乙），则图乙中大正方形的边长为．

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 $\frac{b}{3 a^{2}} - \frac{1}{6 a b}$ ；

(2)、 $\frac{a^{2} - 1}{a} \cdot \frac{2 a b}{a + 1}$ ．

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18. 计算：

(1)、 $\sqrt{8} - \sqrt{2} (\sqrt{2} + 2)$ ；

(2)、 $\sqrt{18} - \sqrt[3]{27} + \sqrt{12} \div \sqrt{6} - \sqrt{\frac{1}{2}}$ ．

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19. 计算： $| - \sqrt{3} | + \sqrt{2} \times \sqrt{6} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} - {(\sqrt{2} - 1)}^{0}$

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20. 计算： $(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2}) - (\sqrt{5} - \sqrt{10})^{2}$ ．

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21. 老师所留的作业中有这样一个分式的计算题

\frac{2}{x + 1} + \frac{x + 5}{x^{2} - 1}

，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：

甲同学：

$\frac{2}{x + 1} + \frac{x + 5}{x^{2} - 1}$

= $\frac{2}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 5}{(x + 1) (x - 1)}$ 第一步

= $\frac{2 + x + 5}{(x + 1) (x - 1)}$ 第二步

= $\frac{x + 7}{(x + 1) (x - 1)}$ 第三步

乙同学：

$\frac{2}{x + 1} + \frac{x + 5}{x^{2} - 1}$

= $\frac{2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 5}{(x + 1) (x - 1)}$ 第一步

= $2 x - 2 + x + 5$ 第二步

= $3 x + 3$ 第三步

老师发现这两位同学的解答过程都有错误．

(1)、请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．我选择同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）．该同学的解答从第步开始出现错误，错误的原因是；

(2)、请重新写出完成此题的正确解答过程：

\frac{2}{x + 1} + \frac{x + 5}{x^{2} - 1}

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22. 解分式方程： $\frac{3}{2 x - 4} - \frac{x}{x - 2} = \frac{1}{2}$ .

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23. 解分式方程： $\frac{x}{x + 1} - 1 = \frac{2 x}{3 x + 3}$

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24. 先化简： $(x + 2 - \frac{5}{x - 2}) \div \frac{x - 3}{3 x^{2} - 6 x}$ ，然后从0，1，2，3中选一个你认为合适的x值，代入求值．

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25. $s = v_{0} t + \frac{1}{2} g t^{2} (t \neq 0)$ 是物理学中的一个公式．

(1)、请用s、g、t表示 $v_{0}$ ；

(2)、请用s、 $v_{0}$ 、t表示g．

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26. 为了落实新冠病毒疫苗接种工作，及时在人群中建立免疫屏障保护，有力减少病毒传播，某地区组织开展12-17岁学生新冠病毒疫苗集中接种工作．为了让学生尽快接种新冠疫苗，A药厂疫苗生产线开足马力，该条生产线计划加工360万支疫苗，现在每天生产的数量是原来的1.2倍，结果提前2天完成任务．那么，该生产线原计划每天生产多少万支疫苗？

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27. 小刚根据以往的学习经验，想通过由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律.
以下是小刚的探究过程，请补充完整.

(1)、具体运算，发现规律：
特例1： $\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ ；特例2： $\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1}{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ；特例3： $\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ；

特例4：（举一个符合上述运算特征的例子）；

(2)、观察、归纳，得出猜想：
如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律：；

(3)、请你证明猜想的正确性.

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28. 在小学时我们知道，分数中有“真分数”与“假分数”．在分式中，对于只含有一个字母的分式，我们给出定义：分子的次数小于分母的次数的分式叫做“真分式”，例如 $\frac{3}{x + 1}$ ， $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ ；分子的次数大于或等于分母的次数的分式叫做“假分式”，例如 $\frac{x - 1}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x - 1}$ ．

(1)、现有以下代数式：① $\frac{4}{2 - m}$ ， ② $\frac{m^{2} - 1}{3 m + 2}$ ， ③ $\frac{m - 1}{2}$ ， ④ $\frac{m - 1}{2 + m^{2}}$ ．其中是“真分式”的为；是“假分式”的为（注：填写序号即可）

(2)、若分式 $\frac{3}{2 m + 1}$ 的值为整数，求出整数m的值；

(3)、我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和，例如： $\frac{7}{3} = 2 + \frac{1}{3}$ ．类似的，“假分式”也可以化为整式与“真分式”的和．
例如： $\frac{x}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 1}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$ ；
$\frac{x^{2}}{x - 1} = \frac{x^{2} - 1 + 1}{x - 1} = \frac{(x + 1) (x - 1) + 1}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$ ．
请解决以下问题：若分式 $\frac{2 m^{2} - m - 1}{m + 1}$ 的值为整数，求出整数m的值．

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x	1	2	3	4	5	…
$\frac{x + 1}{x}$	2	$\frac{3}{2}$	$\frac{4}{3}$	$\frac{5}{4}$	$\frac{6}{5}$	…