天津市南开区2022-2023学年九年级上学期阶段性质量检测数学试题（期中）

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 2022年北京冬奥会在北京，张家口等地召开，在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为（）cm．

A、2 B、4 C、8 D、16

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3. 若 $x = 1$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + c = 0$ 的一个根，则 $c$ 的值为（）

A、-1 B、1 C、0 D、2

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4. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点E在 $⊙ O$ 上，点D，C是 $\overset{⌢}{B E}$ 的三等分点， $∠ C O D = 34 °$ ，则 $∠ A O E$ 的度数是（）

A、 $78 °$ B、 $68 °$ C、 $58 °$ D、 $56 °$

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5. 若二次函数 $y = a x^{2} + b$ 的图象经过点 $P (- 2 ， 4)$ ，则下列各点中一定在该图象上的是（）

A、 $(2 ， 4)$ B、 $(- 2 ， - 4)$ C、 $(4 ， - 2)$ D、 $(- 4 ， 2)$

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6. 如图，将 $R t △ A B C$ 绕直角顶点C顺时针旋转 $90 °$ ，得 $△ A^{'} B^{'} C$ ，连接 $A B^{'}$ ，若 $∠ A^{'} B^{'} A = 25 °$ ，则 $∠ B$ 的大小为（）

A、 $80 °$ B、 $70 °$ C、 $60 °$ D、 $50 °$

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7. 如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（）

A、25° B、50° C、65° D、75°

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8. 将二次函数 $y = x^{2}$ 的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（）

A、 $y = {(x + 2)}^{2} + 3$ B、 $y = {(x + 2)}^{2} - 3$ C、 $y = {(x - 2)}^{2} - 3$ D、 $y = {(x - 2)}^{2} + 3$

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9. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排共计28场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛?若设应邀请x个队参赛，可列出的方程为（）

A、 $x (x + 1) = 28$ B、 $x (x - 1) = 28$ C、 $\frac{1}{2} x (x + 1) = 28$ D、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 28$

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10. 已知抛物线y＝ $\frac{1}{2} （ x - 1 ）^{2} + k$ 上有三点A(-2， $y_{1}$ )，B(-1， $y_{2}$ )，C(2， $y_{3}$ )，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} ＞ y_{2} ＞ y_{3}$ B、 $y_{3} ＞ y_{2} ＞ y_{1}$ C、 $y_{2} ＞ y_{3} ＞ y_{1}$ D、 $y_{2} ＞ y_{1} ＞ y_{3}$

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11. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（）

A、 $(- 1 ， - 1)$ B、 $(- 2 ， - 1)$ C、 $(- 1 ， - 2)$ D、 $(- 2 ， - 2)$

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12. 二次函数y=ax²十bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：① $a b c < 0$ ；② $a - b + c > 0$ ；③c-4a=1；④ $b^{2} > 4 a c$ ；⑤ $a m^{2} + b m + c \leq 1$ （m为任意实数）．其中正确的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题

13. 点 $M (1 ， - 4)$ 关于原点对称的点的坐标是．

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14. 将方程 $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ 化为 $(x + a)^{2} = b$ 的形式，则 $a + b$ 的值为．

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15. 已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为 $(0 ， - 1)$ ，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式．

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16. 已知关于x的一元二次方程 $k x^{2} - 2 x + 3 = 0$ 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．

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17. 如图所示，A，B，C是半径为3的 $⊙ O$ 上的三个点，若四边形AOBC为平行四边形，则四边形AOBC的面积等于．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C < 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A B = 10$ ， $A C = 7$ ， O为 $A C$ 的中点，M为 $B C$ 边上一动点，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转角 $α (0 ° < α \leq 360 °)$ 得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，点M的对应点为 $M^{'}$ ，连接 $O M^{'}$ ，在旋转过程中，线段 $O M^{'}$ 的长度的最小值是．

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三、解答题

19. 计算

(1)、 $(x + 5)^{2} - 25 = 0$

(2)、 $3 x^{2} + 20 x - 7 = 0$

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20. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 k x + 3 k^{2} = 0$ ．

(1)、求证：该方程总有两个实数根；

(2)、若此方程的两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，满足 $(x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 20$ ，求k的值．

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21. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （a，b，c为常数， $a \neq 0$ ）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
-2
0
2
4
6
…
$y = a x^{2} + b x + c$
…
0
6
m
n
0
…

(1)、该二次函数解析式为， $m =$ ， $n =$ ；

(2)、请在给出的平面直角坐标系中，画出二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象；

(3)、根据图象直接写出下列问题：
①当 $x =$ 时，y有最值（填“大”或“小”）是．
②若该二次函数图象上有两点 $P_{1} (x_{1} ， y_{1})$ 和 $P_{2} (x_{2} ， y_{2})$ ，满足 $2 < x_{1} < x_{2}$ ，则 $y_{1}$ $y_{2}$ （从符号<， $\leq$ ， $\geq$ ， >，=中选择一个填空）；
③当 $a x^{2} + b x + c > n$ 时，x的取值范围是．
④当 $- 2 < x < 4$ 时，则y的取值范围是．

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22. 如图1，AB是 $⊙ O$ 的直径，点C在 $⊙ O$ 上，D为 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，连接BC，OD．

(1)、求证： $O D ∥ B C$ ；

(2)、如图2，过点D作AB的垂线与 $⊙ O$ 交于点E，作直径EF交BC于点G．若G为BC中点， $⊙ O$ 的半径为2，求弦BC的长．

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23. 如图，学校要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙（外墙足够长），其余三边用竹篱笆围成．其中 $A D \geq A B$ （即长不小于宽），设矩形的宽 $A B$ 的长为x米，矩形 $A B C D$ 面积为y平方米．

(1)、若矩形 $A B C D$ 的面积150平方米，求宽 $A B$ 的长；

(2)、求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(3)、矩形地块的宽为多少时，矩形 $A B C D$ 面积最大，并求出最大面积．

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24. 将矩形纸片 $A B C O$ 放在平面直角坐标系中，点 $O (0 ， 0)$ ，点 $A (- 8 ， 0)$ ，点 $C (0 ， 6)$ ．现绕点O顺时针旋转矩形纸片 $A B C O$ ，得到新的矩形 $A^{'} B^{'} C^{'} O$ ，其中A，B，C的对应点分别为 $A^{'} ， B^{'} ， C^{'}$ ．当直线 $B C$ 与直线 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 有交点时，设交点为D．

(1)、在旋转过程中，判断线段 $C D$ 和 $C^{'} D$ 的数量关系，并以图①为例说明理由；

(2)、在旋转过程中，当点 $A^{'}$ 落在线段 $B C$ 上时（如图②），直接写出点 $A^{'}$ 的坐标；

(3)、在旋转过程中，若线段 $A^{'} O$ 恰好过线段 $B C$ 中点E时（如图③），求线段 $C D$ 的长；

(4)、在旋转过程中，当线段 $A^{'} O$ 与线段 $B C$ 的交点M恰好是线段 $B D$ 中点时（如图④），请直接写出点M和点D的坐标．

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25. 如图，二次函数 $y = (x - 2)^{2} + m$ 的图象交y轴于点C，点B与点C关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数 $y = k x + b$ 的图象经过该二次函数图象上的点 $A (1 ， 0)$ 及点B．

(1)、求二次函数与一次函数的解析式．

(2)、点P是该抛物线上一动点，点P从A点沿抛物线向B点运动（点P不与A、B重合），过点P作 $P D ∥ y$ 轴，PD交直线AB于点D．请求出点P在运动的过程中，线段PD的长度的最大值以及此时点P的坐标；

(3)、抛物线上是否存在点Q，使 $S_{△ A B Q} = 15$ ，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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x	…	-2	0	2	4	6	…
$y = a x^{2} + b x + c$	…	0	6	m	n	0	…