天津市河西区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在抛物线 $y = x^{2}$ 上的点为（）

A、（1，0） B、（2，2） C、（-1，1） D、（0，1）

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2. 在艺术字中，有些字母是中心对称图形，下面的5个字母中，是中心对称图形的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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3. 解方程 $x^{2} = 9$ 的结果为（）

A、 $x = 3$ B、 $x = - 3$ C、 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = - 3$ D、 $x_{1} = 6$ ， $x_{2} = 3$

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4. 正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y，则y是x的函数，它们的关系式为（）

A、 $y = 2 x$ B、 $y = 6 x$ C、 $y = 2 x^{2}$ D、 $y = 6 x^{2}$

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5. 如图，在方格纸中，将 $Rt △ A O B$ 绕点 $B$ 按顺时针方向旋转90°后得到 $Rt △ A^{'} O^{'} B$ ，则下列四个图形中正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 下列二次函数的图象中，开口最小的是（）

A、 $y = 10 x^{2}$ B、 $y = 2 x^{2}$ C、 $y = 3 x^{2}$ D、 $y = \frac{1}{20} x^{2}$

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7. 已知二次函数 $y = x^{2} + 2 x$ ，当自变量 $x = 3$ 时，函数值为（）

A、 $y = 10$ B、 $y = 12$ C、 $y = 15$ D、 $y = 18$

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8. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x - a = 0$ 有两个相等的实数根，则a的取值为（）

A、 $a = 1$ B、 $a = - 1$ C、 $a = 4$ D、 $a = - 4$

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9. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排共计28场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛?若设应邀请x个队参赛，可列出的方程为（）

A、 $x (x + 1) = 28$ B、 $x (x - 1) = 28$ C、 $\frac{1}{2} x (x + 1) = 28$ D、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 28$

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10. 将抛物线 $y = x^{2} - 2$ 向右平移1个单位，新的函数解析式为（）

A、 $y = (x - 1)^{2} - 2$ B、 $y = (x + 1)^{2} - 2$ C、 $y = (x + 2)^{2} + 1$ D、 $y = (x - 2)^{2} + 1$

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点C顺时针旋转得到 $△ D E C$ ，使点B的对应点E恰好落在边 $A C$ 上，点A的对应点为D，延长 $D E$ 交 $A B$ 于点F，则下列结论一定正确的是（）

A、 $A C = D E$ B、 $B C = E F$ C、 $∠ A E F = ∠ D$ D、 $A B ⊥ D F$

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12. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 是常数， $a \neq 0$ ， $c > 1$ ）经过点 $(3 ， 0)$ ，其对称轴是直线 $x = 1$ ．有下列结论：
① $a b c > 0$ ；② 关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = a$ 有两个不等的实数根；③ $a < - \frac{1}{3}$ ．
其中，正确结论的个数是（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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二、填空题

13. 点 $P (- 2 ， 5)$ 关于原点对称点的坐标为．

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14. 时钟上的时针匀速旋转一周是12小时，从5时到6时，时针转动的度数为．

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15. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则m的值可以是.（写出一个即可）

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16. 在平面直角坐标系中，O为原点，点A(4，0)，点B(0，3)，把 $△ A B O$ 绕点B逆时针旋转90°，得 $△ A^{'} B O^{'}$ ，点A、O旋转后的对应点为 $A ′$ ， $O^{'}$ ，那么A $A ′$ 的长为．

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17. 如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A’B’C．若 $∠ A$ =40°， $∠ B'$ =110°，则∠ $B C A^{'}$ 的度数为.

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18. 如图是一个三角点阵，从上向下有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……，它们的前n行点数和为．

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三、解答题

19. 解方程

(1)、 $2 x^{2} = 6$ ；

(2)、 $x^{2} + 4 x - 2 = 10$

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20. 如图，若将线段 $A B$ 绕点O旋转 $180 °$ ，得到点A的对应点 $A^{'}$ ，点B的对应点为 $B^{'}$ ．

(1)、画出旋转后的图形，并连接 $A B^{'} ， B A^{'}$ ；

(2)、四边形 $A B A^{^{'}} B^{^{'}}$ 的形状一定为．（填写序号即可）
①矩形；②菱形；③平行四边形；④不能确定形状的任意四边形

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21. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ ．

(1)、画出这条抛物线的草图；

(2)、抛物线有最点（填“高”或“低”），该点是；

(3)、利用图象直接回答：当x取什么值时，函数值大于0？

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22. 如图，已知在 $△ A B E$ 中， $∠ A B E = 120 °$ ，将 $△ A B E$ 绕点B顺时针旋转 $60 °$ 得到 $△ C B D$ ， $A E$ 和 $D C$ 交于点 P，连接 $A C$ ， $D E$ ．

(1)、 $△ A B C$ 和 $△ B D E$ 都是等边三角形吗？说明理由；

(2)、求 $∠ A P C$ 的度数．

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23. 如图，利用一面墙（墙长20米），用总长度43米的篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍 $A B C D$ ，且中间共留两个1米的小门，设篱笆 $B C$ 长为x米．

(1)、 $A B =$ 米（用含x的代数式表示）；

(2)、若矩形鸡舍 $A B C D$ 面积为150平方米，求篱笆 $B C$ 的长？

(3)、矩形鸡舍 $A B C D$ 面积的最大值是多少？说明理由．

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24. 在平面直角坐标系中，已知 $O$ 为坐标原点，点 $A (1 ， 0)$ ， $B (0 ， 2)$ ．以点 $A$ 为旋转中心，把 $△ A B O$ 顺时针旋转，得 $△ A C D$ ．

(1)、如图①，当旋转后满足 $D C ∥ x$ 轴时，求点C的坐标；

(2)、如图②，当旋转后点C恰好落在x轴正半轴上时，求点D的坐标；

(3)、在（2）的条件下，边OB上的一点 $P$ 旋转后的对应点为 $P^{'}$ 当 $D P + A P^{^{'}}$ 取得最小值时，求点 $P$ 的坐标（直接写出结果即可）．

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25. 已知抛物线 $y = a x^{2} + m$ 过点 $Q （ 1 ， 4 ）$ ，且与 $x$ 轴交于点 $P （ 3 ， 0 ）$ ．

(1)、求该抛物线的顶点坐标；

(2)、若有点A在直线 $P Q$ 上，过点A作 $A B ⊥ x$ 轴于点B，以 $A B$ 为斜边，在 $A B$ 左侧作等腰直角三角形 $A B C$ ．
① 当点Q与点A重合时，求点C到抛物线对称轴的距离；
② 若点C恰好落在抛物线上，求此时点C的坐标．

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