上海市浦东新区2022-2023学年九年级上学期期中质量检测数学卷

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ ，那么 $\frac{b - a}{b}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 如果P是线段 $A B$ 的黄金分割点，并且 $A P > P B$ ， $A B = 1$ ，那么 $A P$ 的长度为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

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3. 下列各组中两个图形不相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，已知 $A B / / C D ， A D$ 与 $B C$ 相交于点 $O$ ， $O B ： O C = 1 ： 3$ ，那么下列式子中错误的是（）

A、 $A B ： C D = 1 ： 4$ B、 $A O ： O D = 1 ： 3$ C、 $O D ： A D = 3 ： 4$ D、 $B C ： C O = 4 ： 3$

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5. 在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{∘}$ ， $B C = 9 ， A C = 6$ 下列等式中正确的是（）

A、 $t a n A = \frac{2}{3}$ B、 $s i n A = \frac{3}{2}$ C、 $c o t A = \frac{2}{3}$ D、 $c o s A = \frac{2}{3}$

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6. 下列判断正确的是（）

A、如果 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，那么 $\vec{a} = \vec{b}$ ； B、若向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 均为单位向量，那么 $\vec{a} = \vec{b}$ C、如果 $\vec{a} = \vec{b}$ ，那么 $\vec{a} - \vec{b} = 0$ D、对于非零向量 $\vec{b}$ ，如果 $\vec{a} = k \cdot \vec{b} (k \neq 0)$ ，那么 $\vec{a} ∥ \vec{b}$

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二、填空题

7. 在1：200000的地图上，两地在地图上的距离是3.5厘米，那么这两地的实际距离为千米．

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8. 如果线段a＝4厘米，c＝9厘米，那么线段a、c的比例中项b＝厘米．

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9. 已知在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是中线， $G$ 是重心，如果 $G D = 3$ $c m$ ，那么 $A G =$ $c m$ ．

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10. 若两个相似三角形的周长比是4：9，则对应角平分线的比是．

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11. 在 $△ A B C$ 中，点 $D 、 E$ 分别在边 $A B 、 A C$ 上， $A D ： A B = 2 ： 3$ ， $A E = 4$ ，当 $A C =$ 时， $D E ∥ B C$ ．

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12. 如图、已知AD、BC相交于点O， $A B ∥ C D ∥ E F$ ，如果 $C E = 2$ ， $E B = 6$ ， $F D = 1.5$ ，那么 $A D =$ ．

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13. 如图，点 $D$ 、 $E$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 的中点，则 $S_{△ A D E} ： S_{四边形 B C E D} =$ ．

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14. 如图，在 $△ A B C$ ， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ， $D E ∥ B C$ ， $A D = 2$ ， $B D = 3$ ， $B C = 5$ ，则 $C E =$ ．

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15. $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10$ cm， $B C = 10 \sqrt{3}$ cm，则 $∠ B =$ ．

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16. 如图矩形DEFG内接于△ABC，BC=6cm，DE=3cm，EF=2cm，那么BC边上的高的长是cm.

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是AB的中点，过点D的直线交AC于E，交BC的延长线于F，当 $B F = 9$ ， $C F = 4$ 时， $\frac{A E}{E C} =$ ．

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18. 已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10， $c o s A = \frac{3}{5}$ (如图)，将△ABC绕着点C旋转，点A、B的对应点分别记为A′、B′，A′B′与边AB相交于点E．如果A′B′⊥AC，那么线段B′E的长为．

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三、解答题

19. 计算： $\frac{c o s^{2} 45 °}{s i n 60 ° - t a n 30 °} + {(2022 - c o t 30 °)}^{0}$ ．

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20. 如图， $▱ A B C D$ 中，点 $E$ 为 $D C$ 上的一点， $C E = 2 D E$ ， AC与BE相交于点F，如果 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ．

(1)、用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 分别表示下列向量： $\vec{C E} =$ ； $\vec{A E} =$ ； $\vec{A F} =$ ．

(2)、在图中求作 $\vec{A F}$ 分别在 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 方向上的分向量．（不写作法，但要写出画图结果）

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $c o s B = \frac{4}{5}$ ， $A B = 10$ ，点D是 $B C$ 边上一点，且 $A C = D C$ ．

(1)、求 $B D$ 的长；

(2)、求 $c o t ∠ B A D$ 的值．

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22. 已知：如图，在 $△ A B C$ 中，点D，点E分别是边 $A C$ 、 $A B$ 上的点， $E C$ 和 $B D$ 相交于点O，且 $∠ A B D = ∠ A C E$ ，连接 $D E$ ．

(1)、求证： $△ E O D ∽ △ B O C$ ；

(2)、若 $\frac{D E}{B C} = \frac{2}{3}$ ，求 $\frac{A E}{A C}$ 的值．

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23. 已知：如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B C D = 90 °$ ，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点E，且 $A C ⊥ B D$ ．

(1)、求证： $C D^{2} = B C \cdot A D$ ；

(2)、点F是边 $B C$ 上一点，连接 $A F$ ，与 $B D$ 相交于点G，且 $∠ B A F = ∠ A D B$ ，求证： $\frac{A G^{2}}{A D^{2}} = \frac{B G}{B D}$ ．

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24. 如图，在平面直角系中，直线AB： $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 分别交x轴、y轴于A、B两点，点 $C (1 ， 0)$ 是x轴上的一点，连接BC．

(1)、求证： $△ A B O ∽ △ B C O$ ；

(2)、求 $t a n ∠ A B C$ 的值；

(3)、点D在y轴上，且使 $△ A B C$ 与 $△ B C D$ 相似，求点D的坐标．

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25. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 5$ ， P是射线 $B C$ 上的一个动点，作 $P E ⊥ A P$ ， $P E$ 交射线 $D C$ 于点E，射线 $A E$ 交射线 $B C$ 于点F，设 $B P = x$ ， $C F = y$ ．

(1)、当 $s i n ∠ A P B = \frac{4}{5}$ 时，求 $C E$ 的长；

(2)、如图，当点P在边 $B C$ 上时（点P与点B、C不重合），求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；

(3)、当 $\frac{P E}{A P} = \frac{1}{2}$ 时，求 $C F$ 的长．

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