上海市宝山区2022-2023学年九年级上学期数学期中试题

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列各组图形中，一定相似的是（）

A、两个矩形 B、两个菱形 C、两个正方形 D、两个等腰梯形

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2. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $P (1 ， 3)$ 与原点 $O$ 的连线与 $x$ 轴的正半轴的夹角为 $α (0 ° < α < 90 °)$ ，那么 $c o s α$ 的值是（）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$

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3. 在Rt△ABC中， $∠ C = 90^{\circ}$ ，如果∠A= $α$ ， $A B = m$ ，那么线段AC的长可表示为（）．

A、 $m \cdot \sin α$ ； B、 $m \cdot \cos α$ ； C、 $m \cdot \tan α$ ； D、 $m \cdot \cot α$ ．

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4. 已知 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 都是非零向量，下列条件中，不能判断 $\vec{a} / / \vec{b}$ 的是（）

A、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ B、 $\vec{a} = 3 \vec{b}$ C、 $\vec{a} / / \vec{c}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ D、 $\vec{a} = 2 \vec{c}, \vec{b} = - 2 \vec{c}$

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5. 已知 $△ A B C$ 的三边长分别为 $6 c m$ ， $7.5 c m$ ， $9 c m$ ， $△ D E F$ 的一边长为 $5 c m$ ，如果这两个三角形相似，那么 $△ D E F$ 的另两边长可能是（）

A、 $2 c m$ ， $3 c m$ B、 $4 c m$ ， $6 c m$ C、 $6 c m$ ， $7 c m$ D、 $6 c m$ ， $8 c m$

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6. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点 $E$ 是边 $A D$ 的中点， $E C$ 交对角线 $B D$ 于点 $F$ ，如果 $S_{△ D E F} = 3$ ，那么 $▱ A B C D$ 的面积为（）

A、6 B、12 C、24 D、36

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二、填空题

7. 如果 $x ： y = 5 ： 2$ ，那么 $(x + y) ： y$ 的值为

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8. 已知线段 $a = 2$ 厘米， $c = 6$ 厘米，那么线段 $a$ 和 $c$ 的比例中项 $b$ 是厘米．

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9. 已知点P是线段AB的黄金分割点，AB=4厘米，则较短线段AP的长是厘米．

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10. 已知 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 相似，且点A与点 $D$ 是对应点，点 $B$ 与点 $E$ 是对应点，如果 $∠ A = 50 °$ ， $∠ B = 60 °$ ，那么 $∠ F =$ ．

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11. 在 $R t △ A B C$ 中，如果 $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ， $B C = 6$ ，那么 $A B =$ ．

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12. 已知 $△ A B C ∼ △ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，顶点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 分别与 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ 对应， $A B ： A_{1} B_{1} = 3 ： 5$ ， $E$ 、 $E_{1}$ 分别是边 $A C$ 、 $A_{1} C_{1}$ 的中点，如果 $B E = 1$ ，那么 $B_{1} E_{1}$ 的长为．

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13. 在梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A D = 2$ ， $B C = 5$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $A B$ 、 $C D$ 上，且 $E F ∥ B C$ ，如果 $A E ： E B = 2 ： 1$ ，那么 $E F$ 的长为．

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14. 如图，矩形 $D E F G$ 的边 $D E$ 在 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上，顶点 $G$ 、 $F$ 分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上．已知 $B C = 6 c m$ ， $D E = 3 c m$ ， $E F = 2 c m$ ，那么 $△ A B C$ 的面积是 $c m^{2}$ ．

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15. △ABC中，AD是中线，G是重心， $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A D} = \vec{b}$ ，那么 $\vec{B G}$ =（用 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 表示）.

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16. 在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别在直线 $A B$ 、 $A C$ 上，如果 $D E ∥ B C$ ， $A B = 1$ ， $A C = 2$ ， $A D = 3$ ，那么 $C E =$ ．

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17. 如图，图中提供了一种求 $c o t 15 °$ 的方法，作 $R t △ A B C$ ，使 $∠ C = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ，再延长 $C B$ 到点 $D$ ，使 $B D = B A$ ，联结 $A D$ ，即可得 $∠ D = 15 °$ ，如果设 $A C = t$ ，则可得 $C D = (2 + \sqrt{3}) t$ ，那么 $c o t 1 5^{∘} = c o t D = \frac{C D}{A C} = 2 + \sqrt{3}$ ，运用以上方法，可求得 $c o t 22.5 °$ 的值是．

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18. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $M$ 、 $N$ 分别是边 $A B$ 、 $B C$ 上的点，将矩形 $A B C D$ 沿直线 $M N$ 翻折后，点 $B$ 落在边 $A D$ 上的点 $E$ 处，如果 $A B = 4$ ， $A D = 6$ ， $A E = 2 \sqrt{2} A M$ ，那么 $C N$ 的长为．

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三、解答题

19. 计算： $\frac{c o t 4 5^{°}}{3 t a n 3 0^{°} - 2 c o s 4 5^{°}} - 2 (1 + s i n 6 0^{°})$

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20. 如图，已知两个不平行的向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ，先化简，再求作： $(7 \vec{a} - 2 \vec{b}) - 5 (\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b})$ （不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）

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21. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $∠ B D C = ∠ A = 90 °$ ， $c o s ∠ A B D = \frac{4}{5}$ ．

(1)、求 $\frac{A D}{C D}$ 的值；

(2)、如果 $B C = 25$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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22. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C = \sqrt{5} ， B C = 2$ ，过点 $B$ 作 $B D ⊥ A C$ ，垂足为点 $D$

(1)、求 $c o t ∠ A C B$ 的值﹔

(2)、点 $E$ 是 $B D$ 延长线上一点，联结 $C E$ ，当 $∠ E = ∠ A$ 时，求线段 $C E$ 的长．

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23. 已知：如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D = C D$ ， $E$ 为 $A C$ 的中点，连结 $B E$ 并延长，交线段 $A D$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $△ A E F ∼ △ B A F$ ；

(2)、若 $C D = 3$ ， $A B = 5$ ，求 $D F$ 的长．

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24. 学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一颗古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．

(1)、小丽先调整自己的位置至点 $P$ ，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ （如图①），斜边 $A B$ 平行于地面 $M N$ （点 $M$ 、 $P$ 、 $E$ 、 $N$ 在一直线上），且点 $D$ 在边 $A C$ （较长直角边）的延长线上，此时测得边 $A B$ 距离地面的高度 $E F$ 为1.5米，小丽与古树的距离 $A F$ 为16米，求古树的高度 $D E$ ；

(2)、为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点 $Q$ ，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为 $A^{'}$ 、 $B^{'}$ 、 $C^{'}$ （如图②），使直角边 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ （较短直角边）平行于地面 $M N$ （点 $M$ 、 $Q$ 、 $E$ 、 $N$ 在一直线上），点 $D$ 在斜边 $B^{'} A^{'}$ 的延长线上，且测得此时边 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？

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25. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $E$ 是边 $B C$ 上一点（点 $E$ 不与点 $B$ 、 $C$ 重合），点 $F$ 在 $C D$ 的延长线上，且 $B E = D F$ ，联结 $E F$ ，分别交 $A D$ 、 $A C$ 于点 $M$ 、 $N$ ．

(1)、已知 $M D = 1$ ，求 $B E$ 的长；

(2)、求证： $E F^{2} = 2 E M \cdot F N$ ；

(3)、当 $△ A M N$ 是等腰三角形时，求 $S_{△ M M N}$ 的值．

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