山西省大同市平城区2022-2023学年九年级上学期素养测评二（期中）数学试卷

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + m x - 3 m + 1 = 0$ 的一个解是 $x = 1$ ，则实数m的值是（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、-1

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2. 数学中的对称之美无处不在，下列是小明看到的他所在小区的垃圾桶上的四幅垃圾分类标志图案，如果不考虑图案下面的文字说明，那么这四幅图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A C$ 为弦， $∠ B A C = 25 °$ ，在 $⊙ O$ 上任取一点D，且点D与点C位于直径 $A B$ 的两侧，连接 $A D$ 和 $D C$ ，则 $∠ D$ 的度数是（）

A、 $50 °$ B、 $60 °$ C、 $65 °$ D、 $75 °$

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4. 下列一元二次方程一定有两个不相等的实数解的方程是（　　）

A、 $x^{2} - 3 x + 8 = 0$ B、 $5 x^{2} - 3 x + 2 = 0$ C、 $3 x^{2} + x - 5 = 0$ D、 $\frac{3}{2} x^{2} + x + \frac{5}{3} = 0$

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5. 在数学课上，老师给出二次函数的四幅图像如下，根据二次函数的图象的性质可知，下列图像可能表示二次函数 $y = a x^{2} + 2 a x + c$ （ $a \neq 0$ ， a，c是常数）的图像是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 在应用一元二次方程解决问题时，老师展示出一张图片如图所示，在矩形纸片上截去两个同样大小的圆，要求使两圆的面积和是剩余面积的一半，已知矩形的长和宽分别为 $80 m m$ 和 $60 m m$ ，圆的半径为 $x m m$ ，根据题意列方程为（）

A、 $π x^{2} = 80 \times 60 \times \frac{1}{3}$ B、 $π x^{2} = 80 \times 60 \times \frac{1}{2}$ C、 $2 π x^{2} = (80 \times 60 - 2 π x^{2}) \times \frac{1}{2}$ D、 $2 π x^{2} = (80 \times 60 - 2 π x^{2}) \times \frac{1}{3}$

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7. 如图，在平面直角坐标系中，画 $△ A B C$ 关于点O成中心对称的图形时，由于紧张对称中心选错，画出的图形是 $△ D E F$ ，请你找出此时的对称中心是（）

A、 $(2 ， 0)$ B、 $(2 ， 1)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(1 ， 0)$

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8. 某钢铁厂七月份产钢50吨，九月份的钢产量比八月份的钢产量增加12吨，若平均每月产钢量的增长率相同且为x，则根据题意，列出的方程正确的是（　　）

A、 $50 {(1 + x)}^{2} = 50 + 12$ B、 $50 {(1 + x)}^{2} - 50 (1 + x) = 12$ C、 $50 (1 + 2 x) - 50 (1 + x) = 12$ D、 $12 + 12 (1 + x) + 12 {(1 + x)}^{2} = 50 + 12$

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9. 如图是一个半径为6cm的 $⊙ O$ 的纸片， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形，分别以直线 $A B$ 和 $A C$ 折叠 $⊙ O$ 纸片， $\overset{⌢}{A B}$ 和 $\overset{⌢}{A C}$ 都经过圆心O，则图中阴影部分的面积是（）

A、 $9 \sqrt{3} c m^{2}$ B、 $8 \sqrt{3} c m^{2}$ C、 $9 \sqrt{6} c m^{2}$ D、 $12 c m^{2}$

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10. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 5$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，则该抛物线关于点 $C$ 成中心对称的抛物线的表达式为（）

A、 $y = - x^{2} - 4 x + 5$ B、 $y = x^{2} + 4 x + 5$ C、 $y = - x^{2} + 4 x - 5$ D、 $y = - x^{2} - 4 x - 5$

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二、填空题

11. 在平面直角坐标系中，点 $A (- 3 ， 2)$ ，连接OA，把线段OA绕原点O逆时针旋转90°得到线段 $O A^{^{'}}$ ，则点 $A^{'}$ 的坐标是．

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12. 如图， $A B$ 和 $C D$ 是 $⊙ O$ 的两条直径，顺次连接 $A C$ ， $C B$ ， $B D$ 和 $D A$ ，得到四边形 $A C B D$ ，则四边形 $A C B D$ 的形状一定是．

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13. 已知矩形的面积是 $54 c m^{2}$ ，当把这个矩形的长减少1cm，宽增加2cm后，所得四边形是正方形，若矩形的宽为xcm，则根据题意，列方程为．

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14. 如图，点 $A (1 ， 0)$ ，点 $B (5 ， 0)$ ，线段 $A B$ 绕点A逆时针旋转 $60 °$ 得到线段 $A C$ ，连接 $B C$ ，再把 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转 $75 °$ 得到 $△ A B_{1} C_{1}$ ，点C的对应点为点 $C_{1}$ ，则点 $C_{1}$ 的坐标是．

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15. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，若点F是DE的中点，连接AF，则AF= ．

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三、解答题

16.

(1)、解方程： $x^{2} - x + 13 = 3 (x^{2} + 1) + 5 x$ ；

(2)、求二次函数 $y = 2 x^{2} - 5 x$ 的图象与x轴的交点坐标．

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17. 已知方程 $(m + 1) x^{2} + (2 m - 3) x + m - 2 = 0$ 是关于x的一元二次方程．

(1)、当 $m = \frac{3}{2}$ 时，求该方程的根；

(2)、若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．

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18. 如图， $△ A B C$ 在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标依次为 $(- 2 ， 3)$ ， $(- 5 ， 2)$ ， $(- 1 ， 1)$ ．根据题意，解答下列问题．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于原点O成中心对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、把 $△ A B C$ 绕点 $M (1 ， 0)$ 顺时针旋转90°得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、连接 $C C_{1}$ ， $C C_{2}$ 和 $C_{1} C_{2}$ ，直接写出 $△ C C_{1} C_{2}$ 的面积．

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19. 如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为 $1.5 m$ ．如图2，把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形 $D E F G$ ，其水平宽度 $D E = 3 m$ ，竖直高度为 $E F = 0.5 m$ ．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为 $2 m$ ，高出喷水口 $0.5 m$ ，喷出的水最远落在地面C处．

(1)、求上边缘抛物线的函数解析式（用顶点式表示），并求喷出水的最大射程 $O C$ ；

(2)、灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，喷出的水恰好经过点F时，求此时点F的坐标．

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20. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ D = 60 °$ ， $A D = 3$ ，对角线 $A C ⊥ B C$ ，点E在射线 $C B$ 的延长线上，连接 $A E$ ，在 $A E$ 上取点O，以点O为圆心， $O A$ 长为半径作 $⊙ O$ 与射线 $C E$ 切于点B，交 $A E$ 于点F，交 $A C$ 于点M．

(1)、求证： $A B = B E$ ；

(2)、求 $A E$ 的长；

(3)、连接 $B M$ ， $O B$ ，直接写出四边形 $A M B O$ 的形状和面积．

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21. 开发商在新建的某小区划出一个长为90米，宽为60米的矩形场地，计划在其中修建四个面积相等的休闲区，并将余下的空地修建成横向宽为 $x$ 米，纵向宽为 $2 x$ 米的鹅卵石健身道如图所示．已知修建 $1$ 平方米的休闲区需要费用100元，修建 $1$ 平方米的鹅卵石健身道需要费用200元，开发商投入的资金是 $y$ 元．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式，并直接写出 $x$ 的取值范围；

(2)、若开发商预计投入的资金为658800元，求 $x$ 的值．

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22. 综合与探究
问题呈现：
“智慧”数学小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解决，如图1，在正方形 $A B C D$ 的边 $B C$ 上任取一点E，以 $A E$ 为边在与正方形 $A B C D$ 的同侧作正方形 $A E F G$ ．
探究结论：

(1)、连接 $G D$ ，则 $G D$ 与 $B E$ 的数量关系是，位置关系是.

(2)、探究发现：
如图2，在图1的基础上连接 $B G$ ， $D E$ ，作 $D E$ 的中点M，连接 $A M$ ，判断 $A M$ 与 $B G$ 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；

(3)、探究拓展：
“智慧”数学小组把“边 $B C$ 上任取一点E”改成了“边 $B C$ 的延长线上任取一点E”，其余条件不变，请在图3中补全图形，并直接写出（2）中的结论是否符合题意，若不符合题意，请直接写出正确的结论．

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23. 综合与实践
如图，抛物线 $y = 2 x^{2} - 4 x - 6$ 与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一动点．

(1)、求A，B，C三点的坐标；

(2)、如图2，当点D在第四象限时，连接 $B D ， C D$ 和 $B C$ ，得到 $△ B C D$ ，当 $△ B C D$ 的面积最大时，求点D的坐标；

(3)、点E在x轴上运动，以点B，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，请借助图1探究，直接写出点E的坐标．

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