山东省烟台市海阳市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 函数 $y = \frac{2}{\sqrt{x - 1}}$ 中自变量x的取值范围是（）

A、 $x ≥ 1$ B、 $x \leq 1$ C、 $x \neq 1$ D、 $x > 1$

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2. 对于反比例函数y＝﹣ $\frac{2}{x}$ ，下列说法错误的是（）

A、图象分布在第二、四象限 B、若点A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂）都在图象上，且x₁＜x₂ ，则y₁＜y₂ C、图象经过点（1，﹣2） D、当x＞0时，y随x的增大而增大

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3. 如图，一辆小车沿着坡度为 $i = 1 ： \sqrt{3}$ 的斜坡向上行驶了100米，则此时该小车上升的高度为（）

A、50米 B、 $50 \sqrt{2}$ 米 C、 $50 \sqrt{3}$ 米 D、100米

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4. 将抛物线 $y = 2 {(x - 1)}^{2} + 2$ 向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标为（）

A、 $(2 ， 1)$ B、 $(- 2 ， 1)$ C、 $(2 ， - 1)$ D、 $(- 2 ， - 1)$

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5. 利用科学计算器计算 $\sqrt{2} s i n 50 °$ ，下列按键顺序正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则反比例函数 $y = \frac{a}{x}$ 与一次函数 $y = b x + c$ 在同一坐标系中的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 若点A（-3，y₁），B（ $\frac{1}{2}$ ， y₂），C（2，y₃）在二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + m$ 的图像上，则y₁ ， y₂ ， y₃的大小关系是（）

A、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ B、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ C、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ D、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$

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9. 如图，已知双曲线 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 经过 $R t △ O A B$ 斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为 $(- 6 ， 4)$ ，则 $△ A O C$ 的面积为（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、6 C、9 D、10

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10. 如图为二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象，有下列结论：① $a b c > 0$ ；② $2 c > 3 b$ ；③ $a + 2 b > m (a m + b) (m \neq 1)$ ；④若方程 $| a x^{2} + b x + c | = 1$ 有四个根，则这四个根的和为4．其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 计算： $s i n 60 ° - \sqrt{3} t a n 30 ° + {(\sqrt{2} - c o s 45 °)}^{2} =$ ．

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12. 若二次函数 $y = - x^{2} - 3 x + 2$ 的图象过点 $(- 1 ， m)$ ，则m的值为．

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13. 如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC=2m，CD=5.4m，∠DCF=30°，则车位所占的宽度EF为米．（ $\sqrt{3} \approx 1.73$ ，结果精确到0.1）

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14. 若 $A (m - 1 ， n)$ ， $B (3 - m ， n)$ 为抛物线 $y = - {(x + h)}^{2} + 2022$ 上两点，则h的值为．

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15. 已知二次函数y=-2x²+2kx-3的顶点在x轴的负半轴上，则k的值等于．

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16. 如图，在反比例函数 $y = \frac{2}{3 x}$ 的图像上有一动点A，连接AO并延长交图像的另一分支于点B，在第四象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图像上运动，若 $t a n ∠ C A B = 3$ ，则k的值为．

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三、解答题

17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B A = B C$ ，点E在 $B C$ 上，且 $A E ⊥ B C$ ， $c o s ∠ B = \frac{4}{5}$ ， $E C = 3$ ，求 $B E$ 的长及 $t a n ∠ C A E$ 的值．

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18. 如图，已知反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x}$ 的图象与一次函数 $y_{2} = x + b$ 的图象交于点 $A (1 ， 4)$ ，点 $B (- 4 ， n)$ ．

(1)、求k的值及 $△ A B O$ 的面积；

(2)、直接写出 $y_{2} > y_{1}$ 时自变量x的取值范围．

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19. 如图为某地的一座人行天桥，天桥高为6米，坡面BC的坡度为 $1 ： 1$ ，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面 $A C$ 的坡度为 $1 ： \sqrt{3}$ ．

(1)、新坡面 $A C$ 的坡角 $∠ C A B$ 的度数为；

(2)、请通过计算说明原天桥底部正前方5米处（ $P B$ 的长）的文化墙 $P M$ 是否需要拆除？（参考数值： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点 $C (2 ， 0)$ ，点 $B (0 ， 4)$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过点A．

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、将直线 $O A$ 向上平移m个单位后经过反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 图象上的点 $(3 ， n)$ ，求m的值．

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21. 如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长 $C D = 15 m$ ，斜坡的倾斜角为 $α$ ， $c o s α = \frac{4}{5}$ ．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为 $60 °$ ，在D点处测得楼顶端A的仰角为 $30 °$ （点A，B，C，D在同一平面内）．

(1)、求C，D两点的高度差；

(2)、求居民楼的高度 $A B$ （结果保留根号）．

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22. 某网络经销商购进一批文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元．为扩大销售，增加盈利，经销商决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，每天可多售出2件（销售单价不低于进价）．若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．

(1)、求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

(2)、销售这款文化衫每天所获得的最大利润为多少元？

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23. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点所连线段长度的平方，则称这个点为三角形该边的“奇点”．如图①，在 $△ A B C$ 中，点D是 $B C$ 边上一点，连接 $A D$ ，若 $A D^{2} = B D \cdot C D$ ，则称点D是 $△ A B C$ 中 $B C$ 边上的“奇点”．问题解决：如图②，在 $△ A B C$ 中， $B C = 11$ ， $t a n B = \frac{3}{5}$ ， $t a n C = \frac{1}{2}$ ，点D是 $B C$ 边上的“奇点”，求线段 $B D$ 的长．

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24. 如图，抛物线 $y = a x^{2} - 3 a x - 4 a$ 的图象经过点 $C (0 ， 2)$ ，交 $x$ 轴于点 $A 、 B$ (点 $A$ 在点 $B$ 左侧)，连接 $B C ，$ 直线 $y = k x + 1 (k > 0)$ 与 $y$ 轴交于点 $D ，$ 与 $B C$ 上方的抛物线交于点 $E ，$ 与 $B C$ 交于点 $F$ ．

(1)、求抛物线的解析式及点 $A 、 B$ 的坐标；

(2)、 $\frac{E F}{D F}$ 是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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