江西省上饶市鄱阳县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列是部分星座的符号，其中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 一元二次方程 $2 x^{2} - 6 x - 5 = 0$ 的一次项系数是（）

A、2 B、6 C、-6 D、-5

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3. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，C为圆内一点，则下列说法正确的是（）

A、 $∠ B O C$ 是圆心角 B、 $A C$ 是 $⊙ O$ 的弦 C、 $∠ C$ 是圆周角 D、 $A C + O C < \frac{1}{2} A B$

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4. 在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中， $△ A B C$ 的顶点都在格点上，将 $△ A B C$ 绕点 $O$ 按顺时针方向旋转得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $75 °$ D、 $90 °$

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5. 如图，O为线段 $B C$ 的中点，点A，C，D到点O的距离相等，则∠A与∠C的数量关系为（）

A、 $∠ A = ∠ C$ B、 $∠ A = 2 ∠ C$ C、 $∠ A - ∠ C = 90 °$ D、 $∠ A + ∠ C = 180 °$

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6. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴相交于点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (6 ， 0)$ ，与y轴相交于点C，甲、乙、丙、丁四名同学在一起探究该函数的图象与性质，下面是他们得出的结论，其中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

7. 若二次函数 $y = (m - 1) x^{m^{2} + 1}$ 的图像开口向下，则m的值为．

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8. 在平面直角坐标系内，若点P（﹣1，p）和点Q（q，3）关于原点O对称，则pq的值为．

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9. 如图，点 $A ， B ， C$ 在 $⊙ O$ 上， $∠ A = 45 °$ ，则 $∠ B O C$ 的度数为．

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10. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ 、 $A B = 2 B C = 4$ ，将 $△ A B C$ 绕点A顺时针旋转 $60 °$ 得到 $△ A E D$ 、则 $C E$ 的长为．

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11. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的两根，则 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}}$ ．

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12. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ ， $D$ 两点在圆上，连接 $A D$ ， $C D$ ，且 $\overset{⌢}{B C} = \overset{⌢}{C D}$ ， $∠ C A B = 25 °$ ， $P$ 为 $\overset{⌢}{A B C}$ 上一动点，在运动过程中， $D P$ 与 $A C$ 相交于点 $M$ ，当 $△ C D M$ 为等腰三角形时， $∠ P D C$ 的度数为．

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三、解答题

13. 解方程： $x^{2} - 4 x = 0$ ．

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14. 如图，已知 $∠ B A C = 30 °$ ，把 $△ A B C$ 绕着点 $A$ 顺时针旋转，使得点 $B$ 与 $C A$ 的延长线上的点 $D$ 重合，求 $∠ A E C$ 的度数．

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15.

(1)、解方程： $x^{2} - 2 x = 4$ ；

(2)、已知抛物线 $y = 2 x^{2} + 4 a x + a - 5$ 与 $y$ 轴相交于点 $C (0 ， - 2)$ ，求抛物线的对称轴方程．

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16. 疫情期间“停课不停学”，因此王老师在线上开通公众号进行公益授课，4月份该公众号关注人数为6000，6月份该公众号关注人数达到7260，若从4月份到6月份，每月该公众号关注人数的平均增长率都相同，求该公众号关注人数的月平均增长率．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B = α$ ，将 $△ A B C$ 向右平移得到 $△ D C E$ ，点 $A$ 的对应点为点 $D$ ．请仅用无刻度直尺按下列要求作图．

(1)、如图1，请画出将线段 $A C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $2 α$ 后的对应线段．

(2)、如图2， $α = 45 °$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点，画出将线段 $A M$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $90 °$ 后的对应线段．

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18. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = x^{2} + x - 2$ 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．

(1)、求顶点D的坐标．

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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19. 已知：如图，将 $△ A B C$ 绕点 $C$ 旋转一定角度得到 $△ E D C$ ，若 $∠ A C E = 2 ∠ A C B$ ．

(1)、求证： $△ A D C ≅ △ A B C$ ；

(2)、若 $A B = B C = 5$ ， $A C = 6$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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20. 关于x的一元二次方程mx²﹣（2m﹣3）x+（m﹣1）=0有两个实数根．

(1)、求m的取值范围；

(2)、若m为正整数，求此方程的根．

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21. 如图， $A B$ 是半 $⊙ O$ 的直径， $C ， D$ 是圆上两点，且 $O D ∥ A C$ ， OD与BC交于点E．

(1)、求证：E为 $B C$ 的中点．

(2)、若 $B C = 6$ ， $D E = 2$ ，求 $A B$ 的长度．

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22. 已知抛物线 $y = x^{2} + (2 m + 2) x + m^{2} + m - 1$ （m是常数）．

(1)、用含m的代数式表示该二次函数图象的顶点坐标．

(2)、当二次函数图象的顶点在x轴上时，求m的值及此时顶点的坐标．

(3)、小明研究发现：无论m取何值，抛物线的顶点都在同一条直线上．请写出这条直线的解析式，并加以证明．

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23. 某大桥上正在行驶的甲车，发现正前方27m处沿同一方向行驶的乙车（此时 $v_{甲} > v_{乙}$ ）后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）与速度v（单位 $m / s$ ）之间的关系式为 $s = - \frac{1}{2} v^{2} + 128 (0 \leq v \leq 16)$ ；甲车行驶的速度v（单位： $m / s$ ）与时间t（单位：s）的关系可以用一次函数表示（如图）．

(1)、当甲车减速 $4 s$ 时，它行驶的路程是多少？

(2)、若乙车以一定的速度一直匀速行驶，经过多长时间两车之间的最近距离是 $2.5 m$ ？（提示：甲车减速后，当甲、乙两车速度相同时，车距最小）

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24. 综合与实践
已知 $△ A B C$ 与 $△ B D E$ 均为等腰直角三角形，其中 $∠ B A C = ∠ B D E = 90 °$ ，连接 $C E$ ， P是 $E C$ 的中点，连接 $P A ， P D$ ．

(1)、【初步感知】
如图1，当 $B ， D ， C$ 三点在同一直线上时， $P A$ 和 $P D$ 的数量关系为，位置关系为．

(2)、【深入探究】
如图2，当 $B ， D ， A$ 三点在同一直线上时，（1）中得到的结论成立吗？请加以证明．

(3)、【拓展提高】
如图3，若等腰直角 $△ A B C$ 绕点B逆时针旋转，当 $E C$ 恰好与 $B D$ 平行时，（1）中得到的结论还成立吗？请加以证明．

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