江西省南昌市十校联考2022-2023学年九年级上学期期中质量检测数学试卷

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列方程是一元二次方程的是（）

A、 $x - 1 = 1$ B、 $\frac{1}{x - 1} + 3 = 5$ C、 $x (x + 3)$ D、 $x (x + 3) = 1$

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2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 若 $P$ 与 $A (1 ， 3)$ 关于原点对称，则点 $P$ 落在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y(元)与降价x(元)之间的关系是y=-2x²+60x+800，则利润获得最多为（）

A、15元 B、400元 C、800元 D、1250元

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5. 如图，将大小两块量角器的零刻度线对齐，且小量角器的中心 $O_{2}$ 恰好在大量角器的圆周上，设它们圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为75°，那么点P在大量角器上对应的刻度线为（）

A、75° B、60° C、45° D、30°

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6. 二次函数的 $y$ 与 $x$ 的部分对应值如表，则下列判断中正确的是（）

$x$

…

0

1

3

4

…

$y$

…

2

4

2

－2

…

A、抛物线开口向上 B、 $y$ 的最大值为4 C、当 $x > 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小 D、当 $0 < x < 2$ 时， $2 < y \leq \frac{17}{4}$

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二、填空题

7. 已知 $⊙ O$ 的半径是3cm，则 $⊙ O$ 中最长的弦长是．

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8. 已知关于x的方程 $x^{2} + k x - 10 = 0$ 的一个根是2，则k＝.

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9. 二次函数 $y = a x^{2} + b x$ 的图象如图，若一元二次方程 $a x^{2} + b x = m$ 有实数根，则 $m$ 的最小值为

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 50 °$ ，若将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转 $50 °$ 得到 $△ A D E$ （点B、C的对应点分别为点D、E），且 $∠ E = 30 °$ ，则 $∠ C A D$ 的度数为 $°$ ．

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11. 如图，直线 $y = m x + n$ 与抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 交于A（-1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式 $m x + n < a x^{2} + b x + c$ 的解集是．

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12. 已知四边形ABCD为菱形，其边长为6， $∠ D A B = ∠ D C B = 60 °$ ，点P在菱形的边AD、CD及对角线AC上运动，当 $C P = 2 D P$ 时，则DP的长为.

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三、解答题

13. 解方程： $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ ．

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14. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 12 c m$ ， $B C = 6 c m$ ．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）．那么当t为何值时， $△ Q A P$ 的面积等于8 $c m^{2}$ ？

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15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA，OC分别位于x轴，y轴上，经过A，C两点的抛物线变x轴于另一点D，连接AC．请你只用无刻度的直尺按要求画图．

(1)、在图1中的抛物线上，画出点E，使DE=AC；

(2)、在图2中的抛物线上，画出抛物线的顶点F．

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16. 如图，P是正方形ABCD内一点，△ABP绕着点B旋转后能到达△CBE的位置．

(1)、旋转的角度是多少度？

(2)、若BP=3cm，求线段PE的长．

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17. 关于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k²＝0有两个不相等的实数根.

(1)、求k的取值范围；

(2)、设方程的两个实数根分别为x₁ ， x₂ ，且（1+x₁）（1+x₂）＝3，求k的值.

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18. 在平面直角坐标系中，△ABC顶点坐标分别为：A（2，5）、B（-2，3）、C（0，2）．线段DE的端点坐标为D（2，-3），E（6，-1）．

(1)、线段AB先向平移个单位，再向平移个单位与线段ED重合；

(2)、将△ABC绕点P旋转180°后得到的△DEF，使AB的对应边为DE，直接写出点P的坐标，并画出△DEF；

(3)、求点C在旋转过程中所经过的路径l的长．

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19. 如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC．

(1)、求∠C的度数

(2)、若弦AB的长为10，求⊙O的直径.

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20. 如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米．

(1)、求水流运行轨迹的函数解析式；

(2)、若在距喷灌架12米处有一棵3.5米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明．

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21. 如图：

(1)、如图1，O是等边 $△ A B C$ 内一点，连接 $O A$ 、 $O B$ 、 $O C$ ，且 $O A = 3$ ， $O B = 4$ ， $O C = 5$ ，将 $△ B A O$ 绕点B顺时针旋转后得到 $△ B C D$ ，连接 $O D$ ．
求：①线段 $O D$ 的长 ▲ ；
②求 $∠ B D C$ 的度数．

(2)、如图2所示，O是等腰直角 $△ A B C$ （ $∠ A B C = 90 °$ ）内一点，连接 $O A$ 、 $O B$ 、 $O C$ ，将 $△ B A O$ 绕点B顺时针旋转后得到 $△ B C D$ ，连接 $O D$ ．当 $O A$ 、 $O B$ 、 $O C$ 满足什么条件时， $∠ O D C = 90 °$ ？请给出证明．

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22. 对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如： $k = 169$ ，因为 $6^{2} = 4 \times 1 \times 9$ ，所以169是“喜鹊数”．

(1)、已知一个“喜鹊数” $k = 100 a + 10 b + c$ （ $1 \leq a 、 b 、 c \leq 9$ ，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式；判断241 “喜鹊数”（填“是”或“不是”）；

(2)、利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ ①与 $c x^{2} + b x + a = 0$ ②，若 $x = m$ 是方程①的一个根， $x = n$ 是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；

(3)、在（2）中条件下，且 $m + n = - 2$ ，请直接写出满足条件的所有k的值．

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23. 如图，直线y＝x-3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝-x²+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P．

(1)、求3m+n的值；

(2)、在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M“形状的新图象，若直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值．

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$x$	…	0	1	3	4	…
$y$	…	2	4	2	－2	…