黑龙江省鹤岗市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列二次函数图象的顶点坐标是 $(- 2 ， 3)$ 的是（）

A、 $y = - 3 {(x + 2)}^{2} - 3$ B、 $y = - 3 {(x + 2)}^{2} + 3$ C、 $y = {(x - 2)}^{2} + 3$ D、 $y = {(x - 2)}^{2} - 3$

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3. 若方程 $x^{2} - b x + 4 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $b$ 的值不能是（）

A、 $b = 4$ B、 $b = 5$ C、 $b = - 5$ D、 $b = - 6$

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4. 将抛物线 $y = - x^{2}$ 通过一次平移可得到抛物线 $y = - {(x + 4)}^{2}$ ，对这一平移过程描述正确的是（）

A、向右平移4个单位长度 B、向左平移4个单位长度 C、向上平移4个单位长度 D、向下平移4个单位长度

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5. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，点 $C$ 的对应点 $C^{'}$ 在BA的延长线上，连接 $C C^{'}$ ，若 $∠ C C^{'} B^{'} = 32 °$ ，则 $∠ B$ 的大小是（）

A、 $64 °$ B、 $67 °$ C、 $77 °$ D、 $87 °$

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6. 关于二次函数 $y = 2 {(x + 1)}^{2} - 3$ ，下列说法错误的是（）

A、图象与y轴的交点坐标为 $(0 ， - 1)$ B、图象的对称轴在y轴左侧 C、当 $x < 0$ 时，y随x的增大而减小 D、函数的最小值为 $- 3$

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7. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + k b + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则一次函数 $y = k x + b$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 在一次同学聚会上，大家一见面就相互握手（每两人只握一次）．大家共握了21次手．设参加这次聚会的同学共有x人，根据题意，可列方程为（）

A、 $x (x + 1) = 21$ B、 $\frac{1}{2} x (x + 1) = 21$ C、 $x (x - 1) = 21$ D、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 21$

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9. 已知二次函数 $y = 3 {(x + 2)}^{2}$ 的图象上有三点 $A (1 ， y_{1})$ ， $B (2 ， y_{2})$ ， $C (- 3 ， y_{3})$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ C、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$ D、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$

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10. 如图所示，在正方形 $A B C D$ 中，P为对角线 $B D$ 上一点，且 $P B = A B$ ，连接 $A P$ ， $C P$ ，延长 $A P$ 交 $C D$ 于点F，交 $B C$ 延长线于点G．将线段 $C P$ 绕点C顺时针旋转，交 $A G$ 于点E，且 $C P = C E$ ，连接 $D E$ ．下列结论：①E为 $F G$ 的中点；② $B D ⊥ D E$ ；③ $A D = D E$ ；④ $△ P C E$ 为等腰直角三角形；⑤ $F G = 2 A P$ ．其中结论正确的序号是（）

A、①③⑤ B、①②④⑤ C、②③④ D、①②③④⑤

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二、填空题

11. 如果点 $M (x ， y)$ 关于原点的对称点为 $(- 2023 ， - 1)$ ，则 $x + y =$ ．

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12. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2} - k x - 12 = 0$ 的一个根为3，则 $k$ 的值为.

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13. 若二次函数 $y = m x^{2} + x + 2$ 的图像与x轴只有一个交点，则m的值为．

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14. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的函数关系式为s＝60t－2t² ，则飞机着陆后滑行m才能停下来．

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15. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 的两根，则 $x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2} =$ ．

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16. 函数 $y = {(x - 2)}^{2} - 2 (x - 2) + 1$ 的图像的对称轴是．

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17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△A'B'C，M是AC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若AC＝4，∠ABC＝30°，则线段MN的最小值为．

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18. 已知三角形两边的长是6和8，第三边的长是方程 $x^{2} - 16 x + 60 = 0$ 的一个根，则该三角形的面积是．

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19. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，有一个等腰三角形 $A O B$ ， $∠ O A B = 120 °$ ，边 $O A$ 在 $x$ 轴上，且 $A O = 1$ ．将 $△ A O B$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到等腰三角形 $A_{1} O B_{1}$ ，且 $O B_{1} = 2 O B$ ，再将 $△ A_{1} O B_{1}$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到等腰三角形 $A_{2} O B_{2}$ ，且 $O B_{2} = 2 O B_{1}$ ……依此规律，点 $B_{2023}$ 的坐标为．

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三、解答题

20. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°} ， ∠ B = 6 0^{°} ， B C = 1 ， △ A^{'} B^{'} C^{'}$ 由 $△ A B C$ 绕点 $C$ 顺时针旋转得到，其中点 $A^{'}$ 与点 $A$ 、点 $B^{'}$ 与点 $B$ 是对应点，连接 $A B'$ ，且 $A ， B^{'} ， A^{'}$ 在同一条直线上，则 $A A^{'}$ 的长为．

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21. 解下列一元二次方程：

(1)、 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ ；

(2)、 ${(2 x - 1)}^{2} = 4 (2 x - 1)$ ．

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22. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (- 2 ， 1)$ ， $B (- 1 ， 3)$ ， $C (- 2 ， 4)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于原点 $O$ 对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $B_{1}$ 的坐标；

(2)、画出 $△ A B C$ 绕原点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并写出点 $A_{2}$ 的坐标．

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23. 已知关于x的方程 $x^{2} - 4 x + (3 - a) = 0$ 有两个不相等的实数根．

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a$ 取满足条件的最小整数时，求方程的根．

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24. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 4 a (a \neq 0)$ 经过 $A (- 1 ， 0)$ ， $C (0 ， 4)$ 两点，与x轴交于另一点B，连接 $A C$ ， $B C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、平行于x轴的直线 $y = - 14$ 与抛物线分别交于点D，E，求线段 $D E$ 的长．

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25. 2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地.据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人.

(1)、求这两个月参观人数的月平均增长率；

(2)、按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？

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26. 已知在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $D$ 为直线 $B C$ 上的一动点（点 $D$ 不与点 $B ， C$ 重合），将 $A D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $A E$ ，连接 $C E ， D E$ ．

(1)、如图①，当点 $D$ 在边 $B C$ 上时，求证： $B C = C D + C E$ ；

(2)、当点 $D$ 在直线 $B C$ 上时，如图②、图③所示，线段 $B C ， C D ， C E$ 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

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27. 暑假期间，某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元时，每天的销售数量将减少10件（销售利润＝销售总额－进货成本）．设销售单价为x元（ $x > 40$ ）．

(1)、若该纪念品的销售单价为45元时，则当天销售量为多少件？

(2)、当该纪念品的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元？

(3)、该纪念品的当天销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．

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28. 直角三角形 $O A B$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示， $O A$ ， $O B$ 的长是方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的两个根（ $O A < O B$ ）．将 $△ O A B$ 绕原点O顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ O C D$ ，点 $A ， B$ 的对应点为 $C ， D$ ，连接 $B D$ ．点E从点D出发，以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度的速度沿着射线 $D B$ 运动，设点E运动的时间为t秒，过点E作 $E F ⊥ x$ 轴于点F，以 $E F$ 为斜边向左作等腰直角三角形 $E F G$ ，连接 $B F$ ．

(1)、求点 $A ， D$ 的坐标；

(2)、设 $△ B E F$ 的面积为 $S$ ，求S与t的关系式；

(3)、在平面内是否存在点H，使以C，D，G，H为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

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