广东省广州三中2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。）

1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 一元二次方程 $2 x^{2} + x - 1 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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3. 抛物线 $y = (x + 1)^{2} + 3$ 的顶点坐标是（）

A、 $(1 ， - 3)$ B、 $(1 ， 3)$ C、 $(- 1 ， 3)$ D、 $(- 1 ， - 3)$

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4. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 5 = 0$ ，下列配方正确的是（）

A、 $(x - 2)^{2} = 9$ B、 $(x - 2)^{2} = 5$ C、 $(x - 1)^{2} = - 4$ D、 $(x - 1)^{2} = 6$

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5. 在平面直角坐标系中，将抛物线 $y = - x^{2}$ 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（）

A、 $y = - (x - 1)^{2} - 2$ B、 $y = - (x + 1)^{2} - 2$ C、 $y = - (x - 1)^{2} + 2$ D、 $y = - (x + 1)^{2} + 2$

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6. 如图，把 $△ A B C$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $35 °$ ，得到 $△ A' B' C$ ， $A' B'$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，若 $∠ A' D C = 90 °$ ，则 $∠ A$ 度数为（）

A、 $45 °$ B、 $55 °$ C、 $65 °$ D、 $75 °$

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7. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为 $x$ ，那么 $x$ 满足的方程是（）

A、 $100 (1 - x)^{2} = 81$ B、 $100 (1 + x)^{2} = 81$ C、 $100 (1 - x %)^{2} = 81$ D、 $100 x^{2} = 81$

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8. 已知点 $A (1 ， y_{1})$ ， $B (2 ， y_{2})$ ， $C (- 3 ， y_{3})$ 都在二次函数 $y = - 2 x^{2} + 4$ 的图象上，则（）

A、 $y_{2} > y_{3} > y_{1}$ B、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ C、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ D、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$

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9. 菱形 $A B C D$ 的一条对角线长为 $7 c m$ ，边 $A B$ 的长是方程 $x^{2} - 8 x + 15 = 0$ 的一个根，则菱形 $A B C D$ 的周长等于（）

A、 $28 c m$ B、 $12 c m$ C、 $20 c m$ D、 $12 c m$ 或 $20 c m$

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10. 在等边三角形 $△ A B C$ 中，边 $A B$ 上的点 $D$ 从顶点 $A$ 出发，向顶点 $B$ 运动，同时，边 $B C$ 上的点 $E$ 从顶点 $B$ 出发，向顶点 $C$ 运动， $D$ ， $E$ 两点运动速度的大小相等，设 $x = A D$ ， $y = A E + C D$ ， $y$ 与 $x$ 的函数图象如图，图象过点 $(0 ， 4)$ ，则图象最低点的纵坐标是（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3} - 1$ D、 $2 \sqrt{3}$

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二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. x²=x的解是.

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12. 如图，以正方形 $A B C D$ 的中心 $O$ 为原点建立平面直角坐标系，若点 $A$ 的坐标为 $(- 2 ， - 2)$ ，则点 $C$ 的坐标是．

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13. 已知关于 $x$ 的方程 $(m + 1) x^{2} + 4 m x + 14 = 0$ 是一元二次方程，则 $m$ 的取值范围是．

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14. 如果一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线 $y = - 2 x^{2} + 2$ 相同，且顶点坐标是 $(4 ， - 2)$ ，则它的解析式是．

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15. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离 $S ($ 米 $)$ 关于滑行的时间 $t ($ 秒 $)$ 的函数解析式是 $S = - 0.25 t^{2} + 8 t$ ，无人机着陆后滑行秒才能停下来．

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16. 如图， $O$ 是等边 $△ A B C$ 内一点， $O A = 3$ ， $O B = 4$ ， $O C = 5$ ，将线段 $B O$ 以点 $B$ 为旋转中心逆时针旋转 $60 °$ 得到线段 $B O'$ ，下列结论： $① △ B O' A$ 可以由 $△ B O C$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到； $② ∠ A O B = 150 °$ ； $③ S_{△ A O C} + S_{△ A O B} = 6 + \frac{9}{4} \sqrt{3}$ ； $④$ 四边形 $A O B O'$ 面积 $= 6 + 3 \sqrt{3}$ ，其中正确的结论是．

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三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）

17. 解方程： $x^{2} + 2 x - 3 = 0 ($ 公式法 $)$

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四、解答题（本大题共8小题，共68.0分。）

18. 如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (1 ， 1)$ ， $B (3 ， 2)$ ， $C (2 ， 4) .$ 画出 $△ A B C$ 关于原点 $O$ 对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，直接写出点 $B_{1}$ 的坐标；

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19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的对称轴为 $x = 1$ ，且它经过点 $A (3 ， 0)$ ，求该二次函数的解析式和顶点坐标．

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20. 如图，依靠一面长18米的墙，用38米长的篱笆围成一个矩形场地 $A B C D$ ，设 $A D$ 长为 $x$ 米．

(1)、用含有 $x$ 的代数式表示 $A B$ 的长，并直接写出 $x$ 的取值范围；

(2)、当矩形场地的面积为180平方米时，求 $A D$ 的长．

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21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y_{1} = a x^{2} + x + m (a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $C$ 两点，与直线 $y_{2} = - x - 4$ 交于点 $A$ 、 $B$ ，其中点 $B$ 坐标为 $(0 ， - 4)$ ，点 $C$ 坐标为 $(2 ， 0)$ ．

(1)、求此抛物线的函数解析式．

(2)、根据图象，直接写出 $y_{2} < y_{1}$ 时， $x$ 的取值范围．

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22. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + a x + a - 2 = 0$ ．

(1)、若该方程的一个根为1，求 $a$ 的值及该方程的另一根；

(2)、求证：二次函数 $y = x^{2} + a x + a - 2$ 的图象与 $x$ 轴有两个交点．

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23. 如图，将矩形 $A B C D$ 绕着点 $C$ 按顺时针方向旋转得到矩形 $F E C G$ ，使点 $B$ 落在 $A D$ 边上的点 $E$ 处，连接 $B G$ 交 $C E$ 于点 $H$ ，连接 $B E$ ．

(1)、求证： $B E$ 平分 $∠ A E C$ ；

(2)、取 $B C$ 中点 $P$ ，连接 $P H$ ，求证： $P H / / C G$ ；

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24. 在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $B C$ ， $C D$ 上，且 $∠ E A F = ∠ C E F = 45 °$ ．

(1)、若点 $G$ 在边 $C B$ 的延长线上，且 $B G = D F$ ， $($ 如图 $①)$ ，求证： $△ A E G$ ≌ $△ A E F$ ；

(2)、若直线 $E F$ 与 $A B$ ， $A D$ 的延长线分别交于点 $M$ ， $N ($ 如图 $②)$ ，求证： $E F^{2} = M E^{2} + N F^{2}$ ；

(3)、将正方形改为长与宽不相等的矩形 $($ 如图 $③)$ ， $∠ E A F = ∠ C E F = 45 °$ ， $B E = 4$ ， $D F = 1$ ，请你直接写出 $△ C E F$ 的面积．

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25. 如图，抛物线 $y = {ax}^{2} + bx + c$ 与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且 $OA = 3 OB$ .

(1)、求抛物线的函数关系式；

(2)、若P是抛物线上且位于直线 $A C$ 上方的一动点，求 $△ ACP$ 的面积的最大值及此时点P的坐标；

(3)、在线段 $O C$ 上是否存在一点M，使 $BM + \frac{\sqrt{2}}{2} CM$ 的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由.

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