2012年高考理数真题试卷（山东卷）

试卷更新日期：2016-09-26 类型：高考真卷

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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若复数z满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z为（）

A、3+5i B、3﹣5i C、﹣3+5i D、﹣3﹣5i

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2. 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁_UA）∪B为（）

A、{1，2，4} B、{2，3，4} C、{0，2，3，4} D、{0，2，4}

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3. 设a＞0且a≠1，则“函数f（x）=a^x在R上是减函数”，是“函数g（x）=（2﹣a）x³在R上是增函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）

A、7 B、9 C、10 D、15

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5. 设变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + 2 y \geq 2 \\ 2 x + y \leq 4 \\ 4 x - y \geq - 1 \end{matrix}$ ，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）

A、 $[- \frac{3}{2} ， 6]$ B、 $[- \frac{3}{2} ， - 1]$ C、[﹣1，6] D、 $[- 6 ， \frac{3}{2}]$

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6. 执行如图的程序框图，如果输入a=4，那么输出的n的值为（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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7. 若 $θ \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ ， $\sin 2 θ = \frac{3 \sqrt{7}}{8}$ ，则sinθ=（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）² ，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（）

A、335 B、338 C、1678 D、2012

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9. 函数y= $\frac{\cos 6 x}{2^{x} - 2^{- x}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，与双曲线x²﹣y²=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{8}$ + $\frac{y^{2}}{2}$ =1 B、 $\frac{x^{2}}{12}$ + $\frac{y^{2}}{6}$ =1 C、 $\frac{x^{2}}{16}$ + $\frac{y^{2}}{4}$ =1 D、 $\frac{x^{2}}{20}$ + $\frac{y^{2}}{5}$ =1

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11. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）

A、232 B、252 C、472 D、484

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12. 设函数f（x）= $\frac{1}{x}$ ，g（x）=ax²+bx（a，b∈R，a≠0）若y=f（x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂），则下列判断正确的是（）

A、当a＜0时，x₁+x₂＜0，y₁+y₂＞0 B、当a＜0时，x₁+x₂＞0，y₁+y₂＜0 C、当a＞0时，x₁+x₂＜0，y₁+y₂＜0 D、当a＞0时，x₁+x₂＞0，y₁+y₂＞0

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二、填空题

13. 若不等式|kx﹣4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k= ．

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14. 如图，正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E，F分别为线段AA₁ ， B₁C上的点，则三棱锥D₁﹣EDF的体积为．

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15. 设a＞0，若曲线y= $\sqrt{x}$ 与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a² ，则a= ．

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16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2，1）时， $\vec{O P}$ 的坐标为．

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三、解答题

17. 已知向量 $\vec{m}$ =（sinx，1）， $\vec{n}$ =（ $\sqrt{3}$ Acosx， $\frac{A}{2}$ cos2x）（A＞0），函数f（x）= $\vec{m}$ • $\vec{n}$ 的最大值为6．

(1)、求A；

(2)、将函数y=f（x）的图象像左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求g（x）在[0， $\frac{5 π}{24}$ ]上的值域．

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18. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．

(1)、求证：BD⊥平面AED；

(2)、求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．

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19. 现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为 $\frac{3}{4}$ ，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 $\frac{2}{3}$ ，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．

(1)、求该射手恰好命中一次得的概率；

(2)、求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．

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20. 在等差数列{a_n}中，a₃+a₄+a₅=84，a₉=73．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、对任意m∈N^* ，将数列{a_n}中落入区间（9^m ， 9^2m）内的项的个数记为b_m ，求数列{b_m}的前m项和S_m ．

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21. 在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为 $\frac{3}{4}$ ．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；

(3)、若点M的横坐标为 $\sqrt{2}$ ，直线l：y=kx+ $\frac{1}{4}$ 与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当 $\frac{1}{2}$ ≤k≤2时，|AB|²+|DE|²的最小值．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x + k}{e^{x}} (k$ 为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．

(1)、求k的值；

(2)、求f（x）的单调区间；

(3)、设g（x）=（x²+x）f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e^﹣² ．

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