浙江省宁波市海曙区四校联考2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2022-12-07 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。）

1. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 一个三角形的两边长为2和7，第三边长为奇数，则第三边长是（）

A、5或7 B、7或9 C、7 D、9

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3. 如图， $∠ A B C = ∠ D C B$ ，要说明 $△ A B C$ ≌ $△ D C B$ ，添加的条件不能是（）

A、 $A B = D C$ B、 $∠ A = ∠ D$ C、 $B E = C E$ D、 $A C = D B$

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4. 如果 $△ A B C$ 的三个顶点 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c .$ 那么下列条件中能判断 $△ A B C$ 是直角三角形的是（）

A、 $∠ A$ ： $∠ B$ ： $∠ C = 3$ ：4：5 B、 $∠ A = 25 °$ ， $∠ B = 75 °$ C、 $a = \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{3}$ ， $c = \sqrt{5}$ D、 $a = 6$ ， $b = 10$ ， $c = 12$

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5. 设 $a < b$ ，则下面不等式正确的是（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $2 - a < 2 - b$ C、 $\frac{a}{3} + 1 < \frac{b}{3} + 1$ D、 $3 a - 3 > 3 b - 3$

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6. 下列命题的逆命题正确的是（）

A、若 $a = b$ ，则 $a^{2} = b^{2}$ B、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a < b$ ，则 $a^{2} < b^{2}$ D、若 $a = \pm b$ ，则 $a^{2} = b^{2}$

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7. 若不等式 $a x - 2 > 0$ 的解集为 $x < - 2$ ，则关于 $y$ 的方程 $a y + 2 = 0$ 的解为.（）

A、 $y = - 1$ B、 $y = 1$ C、 $y = - 2$ D、 $y = 2$

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8. 如图，在△ABC中，∠ACB为钝角。用直尺和圆规在边AB上确定一点D。使∠ADC=2∠B，则符合要求的作图痕迹是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ ，垂足为 $D$ ， $A F$ 平分 $∠ C A B$ ，交 $C D$ 于点 $E$ ，交 $C B$ 于点 $F .$ 若 $A C = 9$ ， $A B = 15$ ，则 $C E$ 的长为（）

A、4 B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{24}{5}$ D、5

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10. 如图，等腰 $R t △ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $∠ A B C$ 的平分线分别交 $A C$ 、 $A D$ 于 $E$ 、 $F$ 两点， $M$ 为 $E F$ 的中点， $A M$ 的延长线交 $B C$ 于点 $N$ ，连接 $D M$ ，下列结论： $① D F = D N$ ； $② △ D M N$ 为等腰三角形； $③ E N ⊥ N C$ ； $④ ∠ D A M = ∠ A D M$ ； $⑤ A E = N C$ ，其中正确结论有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 关于 $x$ 的一元一次不等式 $2 x < a + 1$ 的解集为 $x < 3$ ，则 $a$ 的值为.

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12. 已知 $R t △ A B C$ 两边长为5和12，则其斜边上的中线为.

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13. 在 $△ A B C$ 中， $A B$ 的垂直平分线分别交 $A B$ ， $B C$ 于点 $D$ 、 $E$ ， $A C$ 的垂直平分线分别交 $A C$ ， $B C$ 于点 $F$ 、 $G$ ，若 $B G = 9$ ， $C E = 11$ ，且 $△ A E G$ 的周长为16，求 $E G =$ .

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14. 如果等腰三角形的周长是27cm，一腰上的中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是3cm，则这个等腰三角形的底边长为cm．

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15. 若关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 5 < 0 \\ x - a > 0 \end{array}$ 有且仅有3个整数解，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 课本第78页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中有如下问题：如图①分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 满足的数量关系是. 现将△ABF向上翻折，如图②，已知 $S_{甲} = 6$ ， $S_{乙} = 5$ ， $S_{丙} = 4$ ，则△ABC的面积是.

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三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。）

17.

(1)、解不等式： $4 x + 5 < 2 (x + \frac{1}{2})$ ，并把解集在数轴上表示出来；

(2)、解不等式组 ${\begin{array}{l} 3 (x - 1) \leq 2 x + 1 \\ x + 3 > - 3 x + 7 \end{array}$ ，并写出它的最大整数解.

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18. 尺规作图：已知△ABC.

⑴画△ABC的中线CD；

⑵画△ABC的角平分线BE.（不用写作法，保留作图痕迹）

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19. 如图，为了测量凹槽的宽度，把一块等腰直角三角板 $(A B = C B ， ∠ A B C = 90 °)$ 放置在凹槽内，三个顶点 $A$ ， $B$ ， $C$ 分别落在凹槽内壁上，若 $∠ A M N = ∠ C N M = 90 °$ ，测得 $A M = 20 c m$ ， $C N = 32 c m$ ，则该凹槽的宽度 $M N$ 的长.

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A E$ 是边 $B C$ 上的高.

(1)、若 $A D$ 是 $B C$ 边上的中线， $A E = 3 c m$ ， $S_{△ A B C} = 12 c m^{2}$ ，求 $D C$ 的长；

(2)、若 $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线， $∠ B = 40 °$ ， $∠ C = 50 °$ ，求 $∠ D A E$ 的大小.

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 45 °$ ， $C D ⊥ A B$ ， $B E ⊥ A C$ ， $C D$ 与 $B E$ 相交于点 $F .$ 求证： $B F = A C$ .

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22. 如图， $△ A B C$ 中， $B A = B C$ ， $C O ⊥ A B$ 于点 $O$ ， $A O = 2$ ， $B O = 3$ .

(1)、求 $B C$ ， $A C$ 的长；

(2)、若点 $D$ 是射线 $O B$ 上的一个动点，作 $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ，连结 $O E .$ 当点 $D$ 在线段 $O B$ 上时，若 $△ A O E$ 是以 $A O$ 为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的 $O D$ 的长.

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23. 某学校为改善办学条件，计划采购 $A$ 、 $B$ 两种型号的空调，已知采购3台 $A$ 型空调和2台 $B$ 型空调，共需费用21000元； $4$ 台 $A$ 型空调比5台 $B$ 型空调的费用多5000元.

(1)、求 $A$ 型空调和 $B$ 型空调每台各需多少元；

(2)、若学校计划采购 $A$ 、 $B$ 两种型号空调共30台，且 $A$ 型空调的台数不少于 $B$ 型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过115000元，该校共有哪几种采购方案？

(3)、在（2）的条件下，直接写出采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？

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24. 概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”.

从三角形 $($ 不是等腰三角形 $)$ 一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.

(1)、理解概念
如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ ，请写出图中两对“等角三角形”

(2)、概念应用
如图2，在 $△ A B C$ 中， $C D$ 为角平分线， $∠ A = 40 °$ ， $∠ B = 60 °$ .
求证： $C D$ 为 $△ A B C$ 的等角分割线.

(3)、在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 42 °$ ， $C D$ 是 $△ A B C$ 的等角分割线，直接写出 $∠ A C B$ 的度数.

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