浙江省杭州十三中2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2022-12-07 类型：期中考试

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一、仔细选一选（本题共10小题，每小题3分，共30分）

1. 下列图形中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若 $a > b$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a - 1 < b - 1$ B、 $- 3 a < - 3 b$ C、 $a + m < b + m$ D、 $\frac{a}{3} < \frac{b}{3}$

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3. 如图，已知 $C B = F E$ ， $∠ C B A = ∠ F E D$ ，下列条件中不能判定 $Δ A B C ≅ Δ D E F$ 的是（）

A、 $A C = D F$ B、 $A B = D E$ C、 $∠ C = ∠ F$ D、 $A C / / D F$

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4. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C = 20 c m$ ， $D E$ 垂直平分 $A B$ ，垂足为 $E$ ，交 $A C$ 于 $D$ ，若 $B C = 15 c m$ ，则 $Δ D B C$ 的周长为（）

A、 $25 c m$ B、 $35 c m$ C、 $30 c m$ D、 $27.5 c m$

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5. 已知三角形 $A B C$ 的三个内角 $∠ A$ 、 $∠ B$ 、 $∠ C$ 满足关系式 $∠ B + ∠ C = 2 ∠ A$ ，则 $∠ A$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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6. 下列命题：①全等三角形的对应角相等；②线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；③等腰三角形的两个底角相等．其中逆命题是真命题的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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7. 等腰三角形一个外角的度数为100°，则底角的度数为（）

A、100° B、80° C、50° D、50°或80°

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8. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ ，垂足为 $D$ ， $E$ 是 $A C$ 的中点，则 $S_{Δ C D E} ： S_{四边形 A B D E} =$ （）

A、 $1 ： 2$ B、 $1 ： 3$ C、 $1 ： 4$ D、 $2 ： 3$

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9. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 120 °$ ， $A B = A C = 2 \sqrt{3} c m$ ，点 $P$ 从点 $B$ 开始以 $1 c m / s$ 的速度向点 $C$ 移动，当 $Δ A B P$ 为直角三角形时，则运动的时间为（）

A、 $3 s$ B、 $3 s$ 或 $4 s$ C、 $1 s$ 或 $4 s$ D、 $2 s$ 或 $3 s$

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10. 如图， $A B = A C = 13$ ， $B P ⊥ C P$ ， $B P = 8$ ， $C P = 6$ ，则四边形 $A B P C$ 的面积为（）

A、48 B、60 C、36 D、72

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二、认真填一填（本题共6小题，每小题4分，共24分）

11. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ A = 36 °$ ， $∠ B = 64 °$ ，则 $∠ C$ 的度数为．

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12. 直角三角形的两条直角边长为5和12，则斜边上的中线长是．

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13. 已知三角形两边的长分别为1和6，第三边长为整数，则该三角形周长为．

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14. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ B = 30 °$ ， $∠ C = 70 °$ ， $A E$ ， $A D$ 分别是 $Δ A B C$ 的角平分线和高线，则 $∠ D A E$ 的度数是．

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15. 如图，在等边三角形 $A B C$ 的边 $A B$ 、 $A C$ 各取一点 $D$ ， $E$ ，连结 $C D$ ， $B E$ 交于点 $F$ ，使 $∠ E F C = 60 °$ ．若 $B D = 1$ ， $C E = 2$ ，则 $B C$ 长度为．

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16. 如图，一根 $2.5 m$ 长的木杆 $A B$ 斜靠在竖直的墙 $A C$ 上，这时 $B$ 到墙底端 $C$ 的距离为 $0.7 m$ ，木杆的顶端沿墙面下滑 $0.4 m$ ，那么点 $B$ 将向外移动 $m$ ；木杆在下滑过程中， $Δ A B C$ 面积最大为 $m^{2}$ ．

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三、全面答一答（本题共7小题，共66分）

17. 解下列不等式

(1)、 $4 x - 1 ⩾ 3 x + 4$ ；

(2)、 $3 (1 - x) < 2 (x - 6)$ ．

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18. 如图， $Δ A B C$ 中， $∠ B = 30 °$ ， $∠ C = 40 °$ ．

(1)、尺规作图：作 $A B$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点 $D$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ．（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、连结 $A D$ ，求 $∠ D A C$ 的度数．

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19. 如图，点 $E$ ， $F$ 在 $C D$ 上，且 $∠ A E C = ∠ B F D = 90 °$ ， $A C = B D$ ， $C F = D E$ ．

(1)、求证： $Rt Δ AEC ≅ Rt Δ BFD$ ．

(2)、连结 $A F$ ，若 $A C = 5$ ， $A E = 3$ ， $C F = 1$ ，求 $A F$ 的长度．

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20. 如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”， $Δ A B C$ 的顶点都在格点上．

⑴直接判断 $Δ A B C$ 的形状．

⑵画出 $Δ A B C$ 关于直线 $M N$ 的对称图形△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

⑶在直线 $M N$ 上作一点 $P$ ，使得 $P A + P B$ 最小，

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21. 如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，作 $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ．

(1)、若 $A D = C D$ ，求 $∠ C$ 的度数．

(2)、若 $A B = 6$ ， $B C = 8$ ．
①求 $A E$ 的长度；

②求 $Δ A C D$ 的面积．

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22. 在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 是射线 $B C$ 上的一点，过点 $D$ 分别作 $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $D F ⊥ A C$ 于点 $F$ ．

(1)、如图1，若 $D$ 是 $B C$ 边上的中点，求证： $D E = D F$ ．

(2)、过点 $B$ 作 $B G ⊥ A C$ 于点 $G$ ．
①如图2，若 $D$ 是 $B C$ 边上的任意一点，求证： $B G = D E + D F$ ；

②若点 $D$ 是射线 $B C$ 上一点， $A B = 5$ ， $B C = 6$ ， $D F = 2$ ，求 $D E$ 的长度．

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23. 如图1， $Δ A C B$ 和 $Δ D C E$ 均为等腰三角形， $C A = C B$ ， $C D = C E$ ， $∠ A C B = ∠ D C E$ ．点 $A$ ， $D$ ， $E$ 在同一条直线上，连结 $B E$ ．

(1)、求证： $A D = B E$ ．

(2)、如图2，若 $∠ A C B = 60 °$ ，求 $∠ A E B$ 的度数．

(3)、若 $∠ C E B = 135 °$ ， $C M$ 为 $Δ D C E$ 中 $D E$ 边上的高．猜想线段 $C M$ ， $A E$ ， $B E$ 之间存在的数量关系，并证明．

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