2022-2023学年苏科版数学七上尖子生考点培优专题训练5 与角有关的动点问题

试卷更新日期：2022-12-07 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 已知长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点B′处，得折痕EM，将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN，则图中与∠B′ME互余的角有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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2. 将一副三角板如图①的位置摆放，其中30°直角三角板的直角边与等腰直角三角板的斜边重合，30°直角三角板直角顶点与等腰直角三角板的锐角顶点重合（为点O）．现将30°的直角三角板绕点O顺时针旋转至如图②的位置，此时 $∠ 1$ 为25°，则 $∠ 2 =$ （）

A、15° B、20° C、25° D、30°

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3. 如图，点O在直线 $A B$ 上，过O作射线 $O C$ ， $∠ B O C = 100 °$ ，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边 $O M$ 与 $O B$ 重合，边 $O N$ 在直线 $A B$ 的下方．若三角板绕点O按每秒 $10 °$ 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线 $O N$ 恰好平分锐角 $∠ A O C$ ，则t的值为（）

A、5 B、4 C、5或23 D、4或22

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4. 如图． $∠ A O B = a$ ， $O A_{1}$ 、 $O B_{1}$ 分别是∠AOM和∠MOB的平分线， $O A_{2}$ 、 $O B_{2}$ 分别是 $∠ A_{1} O M$ 和 $∠ M O B_{1}$ 的平分线， $O A_{3}$ 、 $O B_{3}$ 分别是 $∠ A_{2} O M$ 和 $∠ M O B_{2}$ 的平分线，…， $O A_{n}$ 、分别是 $∠ A_{n - 1} O M$ 和 $∠ M O B_{n - 1}$ 的平分线，则 $∠ A_{n} O B_{n}$ 的度数是（）

A、 $\frac{a}{n}$ B、 $\frac{a}{2^{n - 1}}$ C、 $\frac{a}{2^{n}}$ D、 $\frac{a}{n^{2}}$

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5. 如图，按照上北下南，左西右东的规定画出方向十字线，∠AOE＝m°，∠EOF＝90°，OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF，下面说法：
①点E位于点O的北偏西m°；②图中互余的角有4对；③若∠BOF＝4∠AOE，则∠DON＝54°；④若 $\frac{∠ M O N}{∠ A O E + ∠ B O F} = n$ ，则n的倒数是 $\frac{2}{3}$ ，其中正确有（）

A、3个 B、2个 C、1个 D、0个

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二、填空题

6. 如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC=100°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线AB的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为．

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7. 如图1，在长方形纸片ABCD中，E点在边AD上，F、G分别在边AB、CD上，分别以EF、EG为折痕进行折叠并压平，点A、D的对应点分别是点A′和点D′，若ED′平分∠FEG ，且 $E D^{'}$ 在 $∠ A^{'} E F$ 内部，如图2，设∠A′ED'=n°，则∠FE D′的度数为(用含n的代数式表示)．

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8. 如图1， $О$ 为直线 $A B$ 上一点，作射线 $O C$ ，使 $∠ A O C = 120 °$ ，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点 $О$ 处，一条直角边 $O P$ 在射线 $O A$ 上.将图1中的三角尺绕点 $О$ 以每秒10°的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中，第 $t$ 秒时， $O P$ 所在直线恰好平分 $∠ A O C$ ，则 $t$ 的值为.

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9. [知识背景]：三角形是数学中常见的基本图形，它的三个角之和为180°．等腰三角形是一种特殊的三角形，如果一个三角形有两边相等，那么这个三角形是等腰三角形，相等的两边所对的角也相等．

如图1，在三角形ABC中，如果AB=AC ，那么∠B=∠C ．同样，如果∠B=∠C ，则AB=AC ，即这个三角形也是等腰三角形．

[知识应用]：如图2，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将三角形ABC绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜60°)度(即∠ECB=α度)，得到对应的三角形DEC ， CE交AB于点H ，连接BE ，若三角形BEH为等腰三角形，则α=°．

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10. 小方同学设计了一个“魔法棒转不停”程序，如图所示，点 $O$ ， $A_{0}$ 在直线 $M N$ 上，第一步， $O A_{0}$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $α$ 度 $(0 ° < α < 30 °)$ 至 $O A_{1}$ ；第二步， $O A_{1}$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $2 α$ 度至 $O A_{2}$ ；第三步， $O A_{2}$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $3 α$ 度至 $O A_{3}$ ， $\dots$ $\dots$ 以此类推，在旋转过程中若碰到直线 $M N$ 则立即绕点 $O$ 反方向旋转.当 $∠ A_{2} O A_{4} = 21 °$ 时，则 $α$ 等于度.

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三、综合题

11. 如图1，点 $D$ 、 $O$ 、 $A$ 共线且 $∠ C O D = 20^{°}$ ， $∠ B O C = 80^{°}$ ，射线 $O M$ ， $O N$ 分别平分 $∠ A O B$ 和 $∠ B O D$ ．
如图2，将射线 $O D$ 以每秒 $6^{°}$ 的速度绕点 $O$ 顺时针旋转一周，同时将 $∠ B O C$ 以每秒 $4^{°}$ 的速度绕点 $O$ 顺时针旋转，当射线 $O C$ 与射线 $O A$ 重合时， $∠ B O C$ 停止运动．设射线 $O D$ 的运动时间为 $t$ ．

(1)、运动开始前，如图1， $∠ A O M =$ $^{°}$ ， $∠ D O N =$ $^{°}$

(2)、旋转过程中，当 $t$ 为何值时，射线 $O B$ 平分 $∠ A O N$ ？

(3)、旋转过程中，是否存在某一时刻使得 $∠ M O N = 35^{°}$ ？若存在，请求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

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12. 如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．

(1)、将图1中的三角板绕点O处逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部．且恰好平分∠BOC，求∠CON与∠AOM的度数．

(2)、将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部．请探究：∠CON与∠AOM之间的数量关系，并说明理由．

(3)、将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时．直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为秒（直接写出结果）．

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13. 如图1，∠AOB是平角，∠COD是直角，射线OB在∠COD内部，OE，OF分别是∠BOD，∠AOC的平分线．

(1)、如图1，若OB是∠COD的平分线，求∠AOF的度数；

(2)、如图1，求∠EOF的度数；

(3)、若改变∠COD的位置变化，如图2，当∠COD在直线AB的上方时，如图3，当射线OA在∠COD内部时，如图4，当∠COD在直线AB的下方时，∠EOF的度数发生变化吗？若不变，请直接写出∠EOF的度数；若不确定，请说明理由．

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14. 如图，∠AOB＝90°，∠COD＝60°．

(1)、若OC平分∠AOD，求∠BOC的度数；

(2)、若∠BOC＝ $\frac{1}{14}$ ∠AOD，求∠AOD的度数；

(3)、若同一平面内三条射线OT、OM、ON有公共端点O，且满足∠MOT＝ $\frac{1}{2}$ ∠NOT或者∠NOT＝ $\frac{1}{2}$ ∠MOT，我们称OT是OM和ON的“和谐线”．若射线OP从射线OB的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒12°的速度旋转，同时射线OQ从射线OA的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒9°的速度旋转，射线OP旋转的时间为t（单位：秒），且0＜t＜15，求当射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”时t的值．

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15. 如图， $∠ A O B = ∠ D O C = 90 °$ ．

(1)、试说明∠AOD与∠BOC互补；

(2)、如图2，当射线OA、OB都在∠COD的外部时，过点O作射线OE、OF，若射线OE是∠BOE的三等分线（ $∠ B O E < ∠ C O E$ ）， $∠ D O F = 2 ∠ A O F$ ，求 $∠ E O F$ 的度数：

(3)、如图3，在（2）的条件下， $∠ A O F = ∠ B O C + ∠ C O E$ ，射线OM平分∠EOD，过点O作射线ON，使 $∠ F O N ： ∠ F O M = 2 ： 5$ ，求 $∠ A O N$ 的度数．

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16. 有两个形状、大小完全相同的直角三角板 $A B C$ 和 $C D E$ ，其中 $∠ A C B = ∠ D C E = 90 °$ ．将两个直角三角板 $A B C$ 和 $C D E$ 如图①放置，点A、C、E在直线 $M N$ 上．

(1)、三角板 $C D E$ 位置不动，将三角板 $A B C$ 绕点C顺时针旋转一周，
①在旋转过程中，若 $∠ B C D = 30 °$ ，求 $∠ A C E$ 得度数；
②在旋转过程中， $∠ B C D$ 与 $∠ A C E$ 有怎样的数量关系？请依据图②说明理由．

(2)、在图①基础上，三角板 $A B C$ 和 $C D E$ 同时绕点C顺时针旋转，若三角板 $A B C$ 的边 $A C$ 从 $C M$ 处开始绕点C顺时针旋转，转速为10°/秒，同时三角板 $C D E$ 的边 $C E$ 从 $C N$ 处开始绕点C顺时针旋转，转速为1°/秒，当 $A C$ 旋转一周再落到 $C M$ 上时，两三角板都停止转动．如果设旋转时间为t秒，请结合图①完成在旋转过程中，当 $t =$ 秒时，两三角板重合．在两三角板重合之前当 $t =$ 秒时，有 $∠ A C E = 3 ∠ B C D$ ．

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17. 操作与实践：在综合与实践活动课上，老师将一副三角板按图1所示的位置摆放，分别在∠AOC，∠BOD的内部作射线OM，ON，然后提出如下问题：先添加一个适当条件，再求∠MON的度数．

(1)、特例探究：“兴趣小组”的同学添加了：“若OM，ON分别平分∠AOC，∠BOD”，画出如图2所示图形．小组3号同学佳佳的做法：由于图中∠AOC与∠BOD的和为90°，所以我们容易得到∠MOC与∠NOD的和，这样就能求出∠MON的度数．请你根据佳佳的做法，写出解答过程．

(2)、特例探究：“发现小组”的同学添加了：“若∠MOC= $\frac{1}{3}$ ∠AOC，∠DON= $\frac{1}{3}$ ∠BOD”，画出如图3所示图形．小组2号同学乐乐的做法：设∠AOC的度数为x°，我们就能用含有x°的式子表示出∠COM和∠DON的度数，这样就能求出∠MON的度数，请你根据乐乐的做法，写出解答过程．

(3)、类比拓展：受“兴趣小组”和“发现小组”的启发，“创新小组”的同学添加了：“若∠MOC= $\frac{1}{n}$ ∠AOC，∠DON= $\frac{1}{n}$ ∠BOD”．请你直接写出∠MON的度数．

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18. 已知：如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：5．将一等腰直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边ON在射线OB上，另一直角边OM在直线AB的下方．

(1)、将图1中的等腰直角三角板绕点O以每秒3°的速度逆时针方向旋转一周，直角边ON旋转后的对应边为ON'，直角边OM旋转后的对应边为OM'．在此过程中，经过t秒后，OM'恰好平分∠BOC，求t的值；

(2)、如图2，在（1）问的条件下，若等腰直角三角板在转动的同时，射线OC也绕点O以每秒4°的速度顺时针方向旋转，射线OC旋转后的对应射线为OC'．当射线OC'落在射线OC的反向延长线上时，射线OC和等腰直角三角板同时停止运动．在此过程中，是否存在某一时刻t，使得OC'//M'N'．若存在，请求出t的值，若不存在，诮说明理由；

(3)、如图3，在（1）问的条件下，若等腰直角三角板在转动的同时，射线OC也绕点O以每秒5°的速度顺针方向旋转，射线OC旋转后的对应射线为OC'．当等腰直角三角板停止运动时，射线OC也停止运动．在整个运动过程中．经过l秒后，∠M'ON'的某一边恰好平分∠AOC'，请直接写出所有满足条件的t的值．

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