浙江省台金六校2022-2023学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-12-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 满足 $a = 2 b$ ，则该椭圆的离心率 $e =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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2. 已知直线 $l_{1} ： x + y - 1 = 0 ， l_{2} ： a x + y - 3 = 0$ ，若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离 $d =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3. 若 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{c} ， \vec{a} ， \vec{a} - \vec{c}$ B、 $\vec{a} ， \vec{a} + \vec{b} ， 2 \vec{a} + \vec{b}$ C、 $\vec{a} ， \vec{a} + \vec{b} ， \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b} ， \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} ， \vec{c}$

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4. 已知双曲线的一条渐近线的方程是 $y = 2 x$ ，且焦点 $F$ 到该渐近线的距离为2，则该双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{4} = 1$

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5. 在棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，平面 $A_{1} D B$ 与平面 $D_{1} C B_{1}$ 之间的距离为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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6. 点 $M (2 ， 1)$ 到直线 $l ： (2 λ + 1) x + (1 - λ) y + 3 = 0 ， (λ \in R)$ 的距离的最大值为（）

A、 $\frac{3}{5} \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{5}$ C、3 D、 $3 \sqrt{2}$

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7. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l ： 2 x + y - 5 = 0 ， P$ 为 $l$ 上的动点，过点 $P$ 作圆 $O$ 的切线 $P A ， P B$ ，切点分别为 $A ， B$ ，当 $| P O | \cdot | A B |$ 最小时，直线 $A B$ 的方程为（）

A、 $2 x + y - 4 = 0$ B、 $2 x + y - 1 = 0$ C、 $x + 2 y - 4 = 0$ D、 $x + 2 y - 2 = 0$

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8. 已知 $A (- 1 ， \frac{2 \sqrt{3}}{3}) ， B (1 ， - \frac{2 \sqrt{3}}{3}) ， P (x_{0} ， y_{0})$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上不同的三点，直线 $l ： x = 2$ ，直线 $P A$ 交 $l$ 于点 $M$ ，直线 $P B$ 交 $l$ 于点 $N$ ，若 $S_{△ P A B} = S_{△ P M N}$ ，则 $x_{0} =$ （）

A、0 B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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二、多选题

9. 已知一个古典概型的样本空间 $Ω$ 和事件 $A$ 和事件 $B$ ，满足 $n (Ω) = 32 ， n (A) = 16 ， n (B) = 8 ， n (A \cup B) = 20$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $P (A B) = \frac{1}{8}$ B、 $P (\bar{A} \bar{B}) = \frac{1}{4}$ C、 $A$ 与 $B$ 互斥 D、 $A$ 与 $B$ 相互独立

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10. 在四面体 $O A B C$ 中， $E ， F ， G ， H$ 分别是棱 $O A ， O B ， B C ， C A$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{E G} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$ B、若 $O A = O B ， B C = A C$ ，则四边形 $E F G H$ 为矩形 C、若 $E G = F H$ ，则 $O C ⊥ A B$ D、若 $O A ⊥ B C ， O B ⊥ A C$ ，则 $O C ⊥ A B$

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11. 设直线 $l_{1} ： y = k_{1} x + 1$ 与直线 $l_{2} ： y = k_{2} x - 1$ 交于点 $P$ ，已知点 $M (0 ， - 2) ， N (0 ， - \frac{1}{2})$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $k_{1} k_{2} + 1 = 0$ 时，点 $P$ 在圆上 B、当 $k_{1} k_{2} + 1 = 0$ 时， $| P M | = 2 | P N |$ C、当 $k_{1} + k_{2} + 1 = 0$ 时，点 $P$ 在直线上 D、当 $k_{1} + k_{2} + 1 = 0$ 时， $| P M | + | P N |$ 的最小值为2

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12. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的左､右焦点， $P$ 为椭圆 $C$ 上的一点，若以线段 $P F_{1}$ 为直径的圆与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 总有公共点，则 $r$ 的值可以是（）

A、1 B、3 C、5 D、7

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三、填空题

13. 已知过点 $(3 ， 4)$ 的直线 $l$ 的倾斜角为 $9 0^{∘}$ ，则直线 $l$ 的方程是.

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14. 某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是0.5.若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止.假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，则李明最终通过面试的概率为.

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15. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 和双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > 0 ， n > 0)$ 的焦点相同， $F_{1} ， F_{2}$ 分别为左､右焦点， $P$ 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若 $P F_{2} ⊥ x$ 轴，则椭圆和双曲线的离心率之积为.

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16. 如图，把边长为2的正方形纸片 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折起，设二面角 $D - A C - B$ 的大小为 $θ$ ，异面直线 $A B$ 与 $C D$ 所成角为 $α$ ，当 $θ \in [\frac{π}{3} ， \frac{2 π}{3}]$ 时， $c o s α$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 某中学有教职工150人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：

本科
研究生
合计
35岁以下
35
30
65
$35 \sim 50$ 岁
30
23
53
50岁以上
25
7
32
从这150名教职工中随机的抽取1人，求下列事件的概率.

(1)、事件A：“年龄在35岁以下”；

(2)、事件 $B$ ：“具有研究生学历”.

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18. 已知圆 $M ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 6 = 0$ ，直线 $l$ 过点 $P (3 ， 2)$ 且与圆 $M$ 交于 $A ， B$ 两点.

(1)、当 $| A B |$ 最小时，求直线 $l$ 的方程；

(2)、当 $| A B | = 4$ 时，求直线 $l$ 的方程.

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19. 如图，多面体 $A B C - E F G$ ，底面 $A B C$ 是边长为2的等边三角形，侧面 $A B F E$ 为正方形且垂直于底面 $A B C$ ， $C G ∥ A E$ ， $C G = 3$ ， $M$ 为 $A B$ 的中点， $D$ 为棱 $C G$ 上靠近点 $C$ 的三等分点.

(1)、求证： $G M ⊥$ 平面 $D E F$ ；

(2)、求平面 $A B C$ 与平面 $D E F$ 夹角的大小.

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20. 已知圆 $C ： (x + 2)^{2} + y^{2} = 4$ 和定点 $A (2 ， 0) ， P$ 为圆 $C$ 上的动点，线段 $A P$ 的中垂线 $l$ 与直线 $P C$ 交于点 $Q$ ，设动点 $Q$ 的轨迹为曲线 $C_{1}$ .

(1)、求证： $| | Q A | - | Q C | |$ 为定值，并求曲线 $C_{1}$ 的方程；

(2)、若曲线 $C_{1}$ 与 $x$ 轴的正半轴交于点 $E$ ，直线 $l^{'} ： x = m y + 2$ 与曲线 $C_{1}$ 交于 $M ， N$ 两点，且 $△ E M N$ 的面积是 $\frac{3}{2} \sqrt{2}$ ，求实数 $m$ 的值.

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21. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 为等腰梯形， $A D / / B C ， A B = A D = \frac{1}{2} B C = 2 ， P B = \sqrt{7} ， △ P A D$ 为等边三角形， $M ， N$ 分别为棱 $A D ， B C$ 的中点， $E$ 为棱 $P C$ 上的动点（包括端点）.

(1)、若 $E$ 为棱 $P C$ 的中点，求证： $D E$ $/ /$ 平面 $P M N$ ；

(2)、求直线 $D E$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值的取值范围.

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22. 如图，已知 $F$ 为椭圆 $C ： \frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{12} = 1$ 的上焦点， $A ， B$ 分别为上，下顶点，过 $F$ 作直线 $l$ 与椭圆交于 $P ， Q$ 两点（不与 $A ， B$ 重合）.

(1)、若 $| P F | = 2 | F Q |$ ，求直线 $l$ 的方程；

(2)、记直线 $A P$ 与 $B Q$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，求证： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值，并求出该定值.

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	本科	研究生	合计
35岁以下	35	30	65
$35 \sim 50$ 岁	30	23	53
50岁以上	25	7	32