山西省高中教育发展联盟2022-2023学年高二上学期数学11月期中检测试卷

试卷更新日期：2022-12-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知直线l的倾斜角是135°，且过点 $(1 ， 0)$ ，则下列四个点中在直线l上的是（）

A、 $(0 ， - 1)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(0 ， - \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(2 ， 1)$

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2. 已知椭圆 $C ： 9 x^{2} + 4 y^{2} = 1$ ，则椭圆的长轴长为（）

A、1 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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3. 若点 $A (- 1 ， 5)$ 和点 $B (3 ， 1)$ 到直线 $l ： a x + y + 1 = 0$ 的距离相等，则 $a =$ （）

A、-1 B、1 C、-1或-4 D、1或-4

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4. 已知圆 $x^{2} + (y - 3)^{2} = 16$ 内一点 $P (2 ， 1)$ ，则过P点的最短弦所在的直线方程是（）

A、 $x + y - 3 = 0$ B、 $x + y - 1 = 0$ C、 $x - y + 1 = 0$ D、 $x - y - 1 = 0$

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5. 若双曲线的渐近线方程是 $y = \pm \frac{2}{3} x$ ，虚轴长为8，则该双曲线的标准方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{144} - \frac{y^{2}}{64} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 或 $\frac{9 y^{2}}{64} - \frac{x^{2}}{16} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{36} = 1$

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6. 若直线 $l ： k (x - 2) + y - 1 = 0$ 与曲线 $C ： y = - 1 - \sqrt{- x^{2} + 6 x - 5}$ 有交点，则实数k的取值范围是（）

A、 $[- \frac{2}{3} ， 2]$ B、 $[- 2 ， \frac{2}{3}]$ C、 $(- \infty ， - \frac{2}{3}] ∪ [2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2] ∪ [\frac{2}{3} ， + \infty)$

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7. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F，上顶点为A，直线 $A F$ 与E相交的另一点为M，点M在x轴上的射影为点N，O为坐标原点，若 $\vec{A O} = 3 \vec{N M}$ ，则E的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $△ A B C$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的正三角形， $A A_{1} = \sqrt{7}$ ，顶点 $A_{1}$ 在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线 $A C_{1} ， A_{1} B$ 上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、2 C、 $\sqrt{6}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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二、多选题

9. 下列关于直线方程的说法正确的是（）

A、直线 $x - y s i n θ + 2 = 0$ 的倾斜角可以是 $\frac{π}{2}$ B、直线 $l$ 过点 $(- 2 ， 3)$ ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 $x + y - 1 = 0$ C、过点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 的直线 $A x + B y + C = 0$ 的直线方程还可以写成 $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) = 0$ D、经过 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 两点的直线方程可以表示为 $\frac{y - y_{1}}{y_{1} - y_{2}} = \frac{x - x_{1}}{x_{1} - x_{2}}$

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10. 下列说法正确的是（）

A、抛物线 $y^{2} = - 32 x$ 的准线方程是 $x = 8$ B、若方程 $\frac{x^{2}}{9 - k} + \frac{y^{2}}{k - 5} = 1$ 表示椭圆，则实数k的取值范围是 $(5 ， 9)$ C、双曲线 $x^{2} - 15 y^{2} = 15$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的焦点相同 D、M是双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 上一点，点 $F_{1} ， F_{2}$ 是双曲线的焦点，若 $| M F_{1} | = 5$ ，则 $| M F_{2} | = 9$

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11. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 9$ ，点P为直线 $l ： 3 x + 4 y - 20 = 0$ 上一动点，过点P向圆O引两条切线 $P A ， P B$ ， A，B为切点，则下列说法正确的是（）

A、 $P A$ 长度的最小值为 $\sqrt{7}$ B、 $c o s ∠ A P B$ 的最大值为 $\frac{7}{16}$ C、当 $| P O | \cdot | A B |$ 最小时，直线 $A B$ 的方程为 $12 x + 16 y - 45 = 0$ D、定点 $(\frac{7}{20} ， \frac{4}{5})$ 到动直线 $A B$ 距离的最大值是 $\sqrt{2}$

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12. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马 $P - A B C D$ 中，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P D = C D = A D = 2 ， E ， F ， G$ 分别为 $D A ， D C ， P B$ 的中点，则（）

A、若 $P C$ 的中点为M，则四面体 $D - B C M$ 是鳖臑 B、 $C G$ 与 $E F$ 所成角的余弦值是 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、点S是平面 $P A C$ 内的动点，若 $S D + S G = 2$ ，则动点S的轨迹是圆 D、过点E，F，G的平面与四棱锥 $P - A B C D$ 表面交线的周长是 $2 + 2 \sqrt{2}$

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三、填空题

13. 抛物线 $y^{2} = x$ 的焦点到准线的距离为．

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14. 在直角坐标系 $x O y$ 中， $A (- 2 \sqrt{2} ， 0) ， B (4 \sqrt{2} ， 0)$ ，沿直线 $y = x$ 把直角坐标系折成 $120 °$ 的二面角，则 $A B$ 的长度为.

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15. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点M，N是线段 $B D_{1}$ 上的两个三等分点，动点G在 $△ A B_{1} C$ 内，且 $△ G M N$ 的面积为 $\frac{1}{6}$ ，则G点的轨迹长度为.

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16. 阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称亚历山大时期数学三巨匠.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值 $λ (λ \neq 1)$ 的点的轨迹是圆.”人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (- 3 ， 1)$ ， $B (- 3 ， 5)$ ，点P是满足 $| P B | = 3 | P A |$ 的阿氏圆上的任意一点，则该阿氏圆的方程为；若Q为抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 上的动点，Q在y轴上的射影为M，则 $| P B | + 3 (| P Q | + | Q M |)$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知直线 $3 x + 4 y - 2 = 0$ 与直线 $2 x + y + 2 = 0$ 交于点 $P$ .
（注：结果都写成直线方程的一般式）

(1)、直线 $l_{1}$ 经过点 $P$ ，且平行于直线 $3 x - 4 y + 5 = 0$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、直线 $l_{2}$ 经过点 $P$ ，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线 $l_{2}$ 的方程.

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18. 如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形，且 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ B A D = 60 ° ， A D = A A_{1} = 1$ .

(1)、求 $B C_{1}$ 与 $A_{1} C$ 所成角的余弦值；

(2)、若空间有一点P满足： $\vec{A P} = \vec{A B} + \vec{A D} + 2 \vec{A A_{1}}$ ，求点P到直线 $B D$ 的距离.

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19. 已知圆 $C$ 与 $y$ 轴相切，且在 $x$ 轴上的截距之和是6，圆心在直线 $2 x - 3 y = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、若圆 $C$ 上恰有两个点到直线 $x + y + m = 0$ 的距离为2，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、若圆 $M ： x^{2} + (y + 2)^{2} = a^{2} (a > 0)$ 与圆 $C$ 有公共点，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 如图1，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C ， A D = \frac{1}{3} B C ， A B ⊥ A D ， B D ⊥ C D ， E$ 为 $B C$ 的中点，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起，使 $A B ⊥ A C$ ，如图2，连接 $A E ， A C$ .

(1)、求证：平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ；

(2)、求二面角 $C - A D - E$ 的大小.

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21. 已知抛物线 $y^{2} = 9 x$ 上一动点G，过点G作x轴的垂线，垂足为D，M是 $G D$ 上一点，且满足 $\vec{G M} = \frac{1}{3} \vec{G D}$ .

(1)、求动点M的轨迹C；

(2)、若 $P (x_{0} ， 4)$ 为曲线C上一定点，过点P作两条直线分别与抛物线交于A，B两点，若满足 $k_{P A} + k_{P B} = - 2$ ，求证：直线 $A B$ 恒过定点，并求出定点坐标.

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22. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，点P为E上的一动点， $F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆E的左右焦点， $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长是12，椭圆E上的点到焦点的最短距离是2.

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、过点 $(2 ， 0)$ 的动直线l与椭圆交于P，Q两点，求 $△ F_{1} P Q$ 面积的最大值及此时l的方程.

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