山西省大同市2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知平面α和平面β的法向量分别为 $\vec{m} = (3 ， 1 ， - 5)$ ， $\vec{n} = (- 6 ， - 2 ， 10)$ ，则（）

A、α⊥β B、α∥β C、α与β相交但不垂直 D、以上都不对

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2. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 和 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = k (k > 0 ， a > b > 0)$ 具有（）

A、相同的离心率 B、相同的焦点 C、相同的顶点 D、相同的长、短轴

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3. 直线 $3 x + 4 y = b$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + 1 = 0$ 相切，则 $b =$ （）

A、-2或12 B、2或-12 C、-2或-12 D、2或12

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4. 已知点 $A (1 ， 3)$ ， $B (- 2 ， - 1)$ .若过点 $P (2 ， 1)$ 的直线l与线段 $A B$ 相交，则直线 $l$ 的斜率k的取值范围是（）

A、 $k ⩾ \frac{1}{2}$ B、 $k ⩽ - 2$ C、 $k ⩾ \frac{1}{2}$ 或 $k ⩽ - 2$ D、 $- 2 ⩽ k ⩽ \frac{1}{2}$

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5. 如图所示，空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b} ， \vec{O C} = \vec{c}$ ，点M在 $O A$ 上，且 $\vec{O M} = 2 \vec{M A}$ ， N为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{2}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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6. 设抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 上的三个点 $A (\frac{2}{3} ， y_{1}) ， B (1 ， y_{2}) ， C (\frac{3}{2} ， y_{3})$ 到该抛物线的焦点距离分别为 $d_{1} ， d_{2} ， d_{3}$ ．若 $d_{1} ， d_{2} ， d_{3}$ 的最大值为3，则 $p$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、3 D、 $\frac{14}{3}$

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7. 设 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两个焦点，若点 $P (0 ， 2 b)$ ， $F_{1} ， F_{2}$ 是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{21}}{7} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{21}}{3} x$

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8. 鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = B C = P A = 2$ ， $D$ ， $E$ 分别是棱 $A B$ ， $P C$ 的中点，点 $F$ 是线段 $D E$ 的中点，则点 $F$ 到直线 $A C$ 的距离是（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ C、 $\frac{11}{8}$ D、 $\frac{\sqrt{22}}{4}$

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二、多选题

9. 设 $r > 0$ ，圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = r^{2}$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 16$ 的位置关系不可能是（）

A、内切 B、相交 C、外离 D、外切

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10. 若方程 $\frac{x^{2}}{3 - t} + \frac{y^{2}}{t - 1} = 1$ 所表示的曲线为 $C$ ，则下面四个命题中错误的是（）

A、若 $C$ 为椭圆，则 $1 < t < 3$ B、若 $C$ 为双曲线，则 $t > 3$ 或 $t < 1$ C、曲线 $C$ 可能是圆 D、若 $C$ 为椭圆，且长轴在 $y$ 轴上，则 $1 < t < 2$

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11. 若实数x，y满足 $x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$ ，则（）

A、 $\frac{y}{x - 1}$ 的最大值为 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{y}{x - 1}$ 的最小值为 $- \sqrt{3}$ C、 $\frac{y}{x - 1}$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{y}{x - 1}$ 的最小值为 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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12. 已知 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上一点，椭圆的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，且 $c o s ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $△ F_{1} P F_{2}$ 的周长为 $12$ B、 $S_{△ F_{1} P F_{2}} = 2 \sqrt{2}$ C、点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ D、 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 2$

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三、填空题

13. 直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 的斜率 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 是关于k的方程 $2 k^{2} - 4 k + m = 0$ 的两根，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $m =$ ．

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14. 已知 $\overset{⇀}{a} = (1 ， 0 ， 1) ， \overset{⇀}{b} = (- 2 ， - 1 ， 1) ， \overset{⇀}{c} = (3 ， 1 ， 0)$ ，则 $| \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} + 2 \overset{⇀}{c} | =$ ．

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15. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 被直线截得的弦AB，弦的中点为 $M (4 ， 2)$ ，则直线AB的斜率为.

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16. 如图，在梯形ABCD中， $A D ∥ B C$ ， $A D = A B = 1$ ， $A D ⊥ A B$ ， $∠ B C D = 45 °$ ，将 $△ A B D$ 沿对角线BD折起，设折起后点 $A$ 的位置为 $A^{'}$ ，并且平面 $A^{'} B D ⊥$ 平面BCD.则下面四个命题中正确的是.（把正确命题的序号都填上）
① $A^{'} D ⊥ B C$ ；②三棱锥 $A^{'} - B C D$ 的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ；③ $B A^{^{'}} ⊥ C A^{^{'}}$ ；④平面 $A^{'} B C ⊥$ 平面 $A^{'} D C$ .

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四、解答题

17. 已知 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ， $C$ 为平面内的一个动点，且满足 $| A C | = \sqrt{2} | B C |$ .

(1)、求点 $C$ 的轨迹方程；

(2)、若直线 $l$ 为 $x + y - 1 = 0$ ，求直线 $l$ 被曲线 $C$ 截得的弦的长度.

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18. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $D D_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $B D_{1} //$ 平面 $A C E$ ；

(2)、求直线 $A D$ 与平面 $A C E$ 所成角的正弦值．

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19. 已知点 $A (0 ， - 2)$ ，椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $F$ 是椭圆 $E$ 的右焦点，直线 $A F$ 的斜率为2， $O$ 为坐标原点.

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、设过点 $P (0 ， - \sqrt{3})$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于不同的两 $M$ 、 $N$ ，且 $| M N | = \frac{8 \sqrt{2}}{7}$ ，求 $k$ 的值.

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20. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，侧面 $P A C$ 是等边三角形， $A B ⊥ B C$ ， $P A = P B$ .

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $A C = 2 A B$ ，则在棱 $P C$ 上是否存在动点 $M$ ，使得平面 $M A B$ 与平面 $A B C$ 所成二面角的大小为 $45 °$ .

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21. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）上的一点 $M (\sqrt{2} ， m)$ 到它的焦点的距离为 $\sqrt{2} + 1$ .

(1)、求p的值.

(2)、过点 $N (- 2 ， t)$ （ $t \in R$ ）作曲线C的切线，切点分别为P，Q.求证：直线 $P Q$ 过定点.

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22. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，其离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，且过点 $P (4 \sqrt{2} ， 2 \sqrt{2})$

(1)、求双曲线 $C$ 的方程

(2)、过 $F_{1}$ 的两条相互垂直的交双曲线于 $A ， B$ 和 $C ， D$ ， $M ， N$ 分别为 $A B ， C D$ 的中点，连接 $M N$ ，过坐标原点 $O$ 作 $M N$ 的垂线，垂足为 $H$ ，是否存在定点 $G$ ，使得 $| G H |$ 为定值，若存在，求此定点 $G$ .若不存在，请说明理由.

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