山东省济南市章丘区2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1$ 的斜率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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2. 古希腊数学家阿基米德多年前利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，则椭圆 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ 的面积为（）

A、30 $π$ B、120 $π$ C、 $2 \sqrt{30} π$ D、 $4 \sqrt{30} π$

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3. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，M是平面ABC上一点，且 $3 \vec{P M} = 2 \vec{P A} + t \vec{P B} + 4 \vec{M C}$ ，则t=（）

A、1 B、3 C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{m^{2}} - y^{2} = 1$ （ $m > 0$ ）的渐近线与圆 $x^{2} + y^{2} + 6 x + 5 = 0$ 相切，则m=（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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5. 已知某抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，抛物线上一点 $A$ 在 $F$ 的正上方，过点 $A$ 的直线 $l$ 与抛物线交于另一点 $B$ ，满足 $| B F | = 2 | A F |$ ，则钝角 $∠ A F B =$ （）

A、 $\frac{7 π}{12}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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6. 如图所示，在几何体ABCDEF中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B A D = \frac{π}{2}$ ， $A B = 2 B C = \sqrt{3}$ ， $A E ∥ C F$ ， $A E = 2 C F = 1$ ， $A E ⊥$ 平面ABCD，则异面直线EF与AB所成的角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{2}$

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7. 一条沿直线传播的光线经过点 $P (- 4 ， 8)$ 和 $Q (- 3 ， 6)$ ，然后被直线 $y = x - 3$ 反射，则反射光线所在的直线方程为（）

A、 $x + 2 y - 3 = 0$ B、 $2 x + y - 15 = 0$ C、 $x - 2 y - 5 = 0$ D、 $x + 2 y + 3 = 0$

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8. 已知对任意的 $x \in [- 1 ， 1]$ ，不等式 $\frac{| m x + 4 - \sqrt{1 - x^{2}} |}{\sqrt{m^{2} + 1}} \geq 1$ 恒成立，则实数 $m$ 的最大值是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、3

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二、多选题

9. 已知双曲线C： $\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{7} = 1$ ，则下列选项中正确的是（）

A、C的焦点坐标为 $(\pm 4 ， 0)$ B、C的顶点坐标为 $(0 ， \pm 3)$ C、C的离心率为 $\frac{4}{3}$ D、C的虚轴长为 $2 \sqrt{7}$

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10. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $A B = B B_{1} = 2$ ，则（）

A、三棱锥 $B_{1} - A B C_{1}$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、三棱锥 $B_{1} - A B C_{1}$ 的体积为 $2 \sqrt{3}$ C、点C到直线 $A B_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ D、点C到直线 $A B_{1}$ 的距离为 $\sqrt{14}$

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11. 已知直线l： $λ x - y - λ + 1 = 0$ 和圆C： $x^{2} + y^{2} - 4 y = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线l过定点 $(1 ， 1)$ B、对任意λ，直线l与圆C相交 C、若 $λ < 0$ ，直线l与圆C交于A，B两点，则 $| A B |$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}$ D、对任意λ，圆C上恒有4个点到直线的距离为1

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12. 已知左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 的椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为e，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为P，则下列说法中正确的有（）

A、 $△ A B F_{2}$ 的周长为4a B、若直线OP的斜率为 $k_{1}$ ， AB的斜率为 $k_{2}$ ，则 $k_{1} k_{2} = - \frac{a^{2}}{b^{2}}$ C、若 $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{A F_{2}} = 5 c^{2}$ ，则e的最小值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ D、若 $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{A F_{2}} = 6 c^{2}$ ，则e的最大值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$

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三、填空题

13. 若直线 $x - 2 y - 3 = 0$ 与 $m x + 3 y - 6 = 0$ 互相垂直，则m= ．

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14. 如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一段，宽6m，高0.5m，根据图中的坐标系，可得这条抛物线的准线方程为．

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15. 已知圆 $C_{1}$ ： ${(x + 4)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 9$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + m = 0$ 相离，则整数m的一个取值可以是．

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16. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B C = 1$ ， $A B = 2$ ， $D D_{1} = 3$ ，则 $\vec{B D_{1}} \cdot \vec{C_{1} D} =$ ；点C到平面 $A_{1} C_{1} B$ 的距离为．

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四、解答题

17. 已知圆C： ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ ．

(1)、过点 $P (3 ， 2)$ 向圆C作切线l，求切线l的方程；

(2)、若Q为直线m： $3 x - 4 y + 8 = 0$ 上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求 $| Q M |$ 的最小值．

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18. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD是边长为2的正方形， $A A_{1} = 4$ ， M，N分别是AD， $B D_{1}$ 的中点．

(1)、证明：MN与平面BCN不垂直．

(2)、求MN与平面 $C M D_{1}$ 所成角的正弦值．

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19. 已知抛物线C： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为F， $A (x_{0} ， 4)$ 是抛物线C上的点，且 $| A F | = 6$ ．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、已知直线l交抛物线C于M，N点，且MN的中点坐标为 $(- 1 ， 2)$ ，求 $△ M N F$ 的面积．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为直角梯形，其中 $A B ⊥ B C$ ， $A B ∥ C D$ ， $P A = 2$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} C D = 2$ ， $P A ⊥$ 平面ABCD，M为PD的中点．

(1)、证明： $A M ∥$ 平面PBC．

(2)、求平面PBC与平面PCD的夹角．

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21. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，且焦点到渐近线的距离为1.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若动直线 $l$ 与双曲线 $C$ 恰有1个公共点，且与双曲线 $C$ 的两条渐近线分别交于 $P$ ， $Q$ 两点， $O$ 为坐标原点，证明： $△ O P Q$ 的面积为定值.

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22. 已知椭圆W： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 且垂直于x轴的直线被椭圆W所截得的线段长为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．

(1)、求椭圆W的方程；

(2)、直线 $y = k x (k \neq 0)$ 与椭圆W交于A，B两点，连接 $A F_{1}$ 交椭圆W于点C，若 $S_{△ A B C} = \sqrt{5}$ ，求直线AC的方程．

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