辽宁省抚顺市六校协作体2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $x - y = 0$ 绕原点逆时针旋转90°后所对应的直线斜率为（）

A、-1 B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、1

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2. 已知 $△ A B C$ 的三个顶点分别为 $A (5 ， 3 ， 2)$ ， $B (1 ， - 1 ， 3)$ ， $C (- 1 ， - 3 ， 5)$ ，则 $B C$ 边上的中线长为（）

A、 $2 \sqrt{6}$ B、 $3 \sqrt{6}$ C、 $3 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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3. 如图，在四面体 $O A B C$ 中， $G$ 是 $B C$ 的中点，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{A G} =$ （）

A、 $\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$

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4. 圆M： $x^{2} + y^{2} + 6 x - 7 = 0$ 与圆N： $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 4 = 0$ 的公切线有（）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

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5. 空间中有三点 $P (1 ， - 2 ， - 2)$ ， $M (2 ， - 3 ， 1)$ ， $N (3 ， - 2 ， 2)$ ，则点P到直线MN的距离为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、 $2 \sqrt{5}$

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6. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是边长为4的正方形， $P D = 8$ ，且 $P A = P C = 4 \sqrt{5}$ ， M为 $B C$ 的中点，则点B到平面 $P A M$ 的距离为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

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7. 已知圆 $C$ ： ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 9$ ，过直线 $l$ ： $3 x + 4 y + 19 = 0$ 上一点P向圆 $C$ 作切线，切点为Q，则 $| P Q |$ 的最小值为（）

A、5 B、 $2 \sqrt{7}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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8. 台风中心从 $M$ 地以每小时 $30 k m$ 的速度向西北方向移动，离台风中心 $30 \sqrt{3} k m$ 内的地区为危险地区，城市 $N$ 在 $M$ 地正西方向 $60 k m$ 处，则城市 $N$ 处于危险区内的时长为（）

A、 $1 h$ B、 $\sqrt{2} h$ C、 $2 h$ D、 $3 h$

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二、多选题

9. 已知直线 $l$ ： $\sqrt{3} x + y - 2 = 0$ ，则下列选项中不正确的有（）

A、直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{5 π}{6}$ B、直线 $l$ 的斜率为 $\sqrt{3}$ C、直线 $l$ 的一个法向量为 $\vec{u} = (1 ， \sqrt{3})$ D、直线 $l$ 的一个方向向量为 $\vec{v} = (- \sqrt{3} ， 3)$

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10. 设直线 $l ： a x + (2 a + 3) y - 3 = 0$ 与 $n ： (a - 2) x + a y - 1 = 0$ ，则（）

A、当 $a = - 2$ 时， $l / / n$ B、当 $a = \frac{1}{3}$ 时， $l ⊥ n$ C、当 $l / / n$ 时，l、n间的距离为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、坐标原点到直线n的距离的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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11. 若关于x的方程 $x + \sqrt{1 - x^{2}} - b = 0$ 有唯一解，则b的取值可能是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $- \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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12. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是棱 $B C$ ， $C C_{1}$ ， $B_{1} B$ 的中点，则下列选项中不正确的是（）

A、 $A_{1} D ⊥$ 平面 $A E F$ B、 $D_{1} G ∥$ 平面 $A E F$ C、平面 $A E F$ 截该正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{2}$ D、三棱锥 $A_{1} - A E F$ 的体积为 $\frac{4}{3}$

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三、填空题

13. 直线 $l$ ： $y = 3 x - 4$ 被圆 $C$ ： ${(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 18$ 截得的弦长为.

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14. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C A = 4 \sqrt{2}$ ， $C B = 4$ ， $∠ B C A = 90 °$ ， M是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，以 $C$ 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 $C - x y z$ ，若 $\vec{A_{1} B} ⊥ \vec{C B_{1}}$ ，则异面直线 $C M$ 与 $A_{1} B$ 夹角的余弦值为.

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15. 写出到原点及点 $M (- 1 ， 2 \sqrt{6})$ 的距离分别为2，3的一条直线的方程.

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16. 一条沿直线传播的光线经过点 $P (- 3 ， 7)$ 和 $Q (- 2 ， 5)$ ，然后被直线 $y = x - 2$ 反射，则入射点的坐标为，反射光线所在直线在y轴上的截距为

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四、解答题

17. 已知直线 $l_{1}$ ： $(2 a - 1) x - (a - 2) y + 1 = 0$ ，直线 $l_{2}$ ： $(a + 1) x - 2 y - 1 = 0$ ．

(1)、若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，求实数 $a$ 的值．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形，Q为 $P C$ 的中点.

(1)、用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A D}$ ， $\vec{A P}$ 表示 $\vec{B Q}$ ；

(2)、若底面 $A B C D$ 是正方形，且 $P A = A B = 1$ ， $∠ P A B = ∠ P A D = \frac{π}{3}$ ，求 $| \vec{A Q} |$ .

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19. 已知圆 $M$ 经过点 $A (- 2 ， 5)$ ， $B (- 2 ， - 3)$ ， $C (- 6 ， 1)$ .

(1)、求圆 $M$ 的标准方程；

(2)、过点 $P (2 ， 3)$ 向圆 $M$ 作切线，求切线方程.

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20. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $\vec{B E} = \vec{E B_{1}}$ ， $A B = C C_{1} = 2 B C = 2$ .

(1)、证明： $A C ⊥ C_{1} E$ ；

(2)、求二面角C₁-AE-B的余弦值.

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21. 如图①，在平面多边形ABCDE中， $A B = A D = A E = \frac{1}{2} B C = 1$ ， $△ A D E$ 为等腰直角三角形，四边形ABCD为等腰梯形，且 $A D ∥ B C$ ，沿AD将 $△ A D E$ 折起，使得 $B E = \sqrt{2}$ ， M为BC的中点，连接AM，BD，如图②.

(1)、证明： $B D ⊥ E M$ ；

(2)、求直线DE与平面BEM所成角的正弦值.

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22. 已知圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，过点 $P (0 ， 2)$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ 交于A，B两点，O为坐标原点.

(1)、当直线 $l$ 的斜率为-4时，求 $△ A O B$ 的面积；

(2)、若直线 $l$ 的斜率为k，直线OA，OB的斜率为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ .
①求k的取值范围；
②试判断 $k_{1} + k_{2}$ 的值是否与k有关?若有关，求出 $k_{1} + k_{2}$ 与k的关系式；若无关，请说明理由.

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