江苏省扬州市高邮市2022-2023学年高二上学期数学11月阶段测试试卷

试卷更新日期：2022-12-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的准线方程是（）

A、x=-1 B、 $x = - \frac{1}{2}$ C、 $y = - \frac{1}{2}$ D、 $y = - \frac{1}{8}$

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2. 已知过坐标原点的直线 $l$ 经过点 $A (3 ， \sqrt{3})$ ，直线 $n$ 的倾斜角是直线 $l$ 的2倍，则直线 $n$ 的斜率是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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3. 设 $m$ 为实数，若方程 $\frac{x^{2}}{2 - m} + \frac{y^{2}}{m - 1} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $\frac{3}{2} < m < 2$ B、 $m > \frac{3}{2}$ C、 $1 < m < 2$ D、 $1 < m < \frac{3}{2}$

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4. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S₃＝6，S₄＝12，则S₇＝（）

A、30 B、36 C、42 D、48

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5. 以点 $(- 3 ， 1)$ 为圆心，且与直线 $3 x + 4 y = 0$ 相切的圆的方程是（）

A、 ${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ B、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ C、 ${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ D、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

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6. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见初行行里数，请公仔细算相还”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天到达目的地.”则此人第一天走了（）

A、192里 B、148里 C、132里 D、124里

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7. 已知圆 $C$ ： $x^{2} + {(y - 5)}^{2} = 4$ 和两点 $A (- a ， 0)$ ， $B (a ， 0) (a > 0)$ ，若圆 $C$ 上存在点 $M$ ，满足 $M A ⊥ M B$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(3 ， 5)$ B、 $[3 ， 5]$ C、 $[3 ， 7]$ D、 $[4 ， 7]$

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8. 双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 ， F_{1} ， F_{2}$ 为其左､右焦点，过右焦点 $F_{2}$ 的直线与双曲线右支交于点A和点 $B$ ，满足 $| A F_{1} | = | A B | ， c o s ∠ A B F_{1} = \frac{2}{3}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ D、 $\sqrt{21}$

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二、多选题

9. 已知双曲线C： $\frac{y^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{6} = 1$ ，则（）

A、双曲线C的离心率为 $\sqrt{3}$ B、双曲线C的虚轴长为 $\sqrt{6}$ C、双曲线C的焦点坐标为 $(0 ， \pm 3)$ D、双曲线C的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$

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10. 下列说法中，正确的有（）

A、直线 $y = 3 x - 2$ 在y轴上的截距是2 B、直线 $l_{1} ： a x + 2 y + 3 a - 2 = 0$ 与 $l_{2} ： x + (a + 1) y + 4 = 0$ 平行，则实数 $a$ 的值为1 C、若点A（5，－2）和点B（m，n）关于直线x－y＋1＝0对称，则m＋n＝3 D、过点 $P (1 ， 2)$ 且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 $x + y - 3 = 0$

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11. 对于数列 ${a_{n}}$ ，设其前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，则下列命题正确的是（）

A、若数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，且 $S_{4} ， S_{12} ， S_{8}$ 成等差数列，则 $a_{4} ， a_{12} ， a_{8}$ 也成等差数列 B、若数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，则 $S_{2 n}^{2} = S_{n} \cdot S_{3 n}$ C、若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，则数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 成等差数列 D、若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，且 $S_{6} = S_{9} ， a_{1} < 0$ ，则使得 $S_{n} > 0$ 的最小的 $n$ 值为15

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12. 抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力.设A，B是抛物线C： $x^{2} = 4 y$ 上两个不同的点，以A，B为切点的切线交于P点.若弦AB过 $F (0 ， 1)$ ，则下列说法正确的有（）

A、点P在直线y＝－1上 B、存在点P，使得 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} > 0$ C、AB⊥PF D、△PAB面积的最小值为4

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三、填空题

13. 已知对称轴是坐标轴的等轴双曲线C经过点 $(4 ， \sqrt{13})$ ，则双曲线C的标准方程为.

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14. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3 ， \sqrt{a_{n + 1}} = \sqrt{a_{n}} + \sqrt{3}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为.

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15. 由曲线 $x^{2} + y^{2} = 2 | x | + 2 | y |$ 围成的图形的面积为．

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16. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列 ${a_{n}}$ ，正方形数构成数列 ${b_{n}}$ ，则 $a_{10} =$ ； $\sum_{i = 1}^{10} \frac{1}{b_{i + 1} - a_{i + 1}} =$ .

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四、解答题

17. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{10}$ ，抛物线D： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，准线为 $l$ ，直线 $l$ 交双曲线C的两条渐近线于M、N两点， $△ M N F$ 的面积为3.

(1)、求双曲线C的渐近线方程；

(2)、求抛物线D的方程.

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18. 已知圆 $M$ 经过两点 $A (1 ， 2)$ ， $B (- 1 ， 0)$ 且圆心在直线 $x - 2 y + 2 = 0$ 上．

(1)、求圆 $M$ 的标准方程；

(2)、若过点 $P (1 ， 3)$ 的直线 $l$ 与圆 $M$ 相交于 $C$ ， $D$ 两点，且 $| C D | = 2$ ，求直线 $l$ 的方程．

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19. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2 ， a_{n + 1} = 4 a_{n} - 3 n + 1 (n \in N^{*})$ ， $b_{n} = a_{n} - n$ .

(1)、求证：数列 ${b_{n}}$ 是等比数列；

(2)、设 $c_{n} = {\begin{array}{l} b_{n} ， n 为偶数 \\ l o g_{2} b_{n} ， n 为奇数 \end{array}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$ .

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20. 已知抛物线的方程是 $y^{2} = 4 x$ ，直线l交抛物线于A，B两点.

(1)、若弦AB的中点为 $(2 ， 2)$ ，求弦AB的直线方程；

(2)、设 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ ，若 $y_{1} y_{2} = - 16$ ，求证：直线AB过定点.

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21. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $4 S_{n} = {(a_{n} + 1)}^{2}$ .

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、令 $b_{n} = \frac{a_{n} + 1}{2^{a_{n}}}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若对任意的 $n \in N^{*}$ ，均有 $(3 n + 4) m \geq (2 n - 5) (\frac{16}{9} - T_{n}) \cdot 2^{n}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 换元法在数学中应用较为广泛，其目的在于把不容易解决的问题转化为数学情景.例如，已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 4$ ，求 $a^{3} + b^{3}$ 的最小值.其求解过程可以是：
设 $a = 2 - t$ ， $b = 2 + t$ ， $(- 2 < t < 2)$ ，
则 $a^{3} + b^{3} = {(2 - t)}^{3} + {(2 + t)}^{3} = (8 - 12 t + 6 t^{2} - t^{3}) + (8 + 12 t + 6 t^{2} + t^{3}) = 16 + 12 t^{2} \geq 16$ ，
所以当 $t = 0$ 时 $a^{3} + b^{3}$ 取得最小值16，这种换元方法称为“对称换元”.
已知平面内两定点 $F_{1} (- \frac{\sqrt{6}}{2} ， 0)$ ， $F_{2} (\frac{\sqrt{6}}{2} ， 0)$ ，一动点 $P$ 到两个定点的距离之和为 $2 \sqrt{3}$ .

(1)、请利用上述求解方法，求出 $P$ 点的轨迹方程；

(2)、已知点 $M (1 ， 1)$ ，设点 $A$ ， $B$ 在第（1）问所求的曲线上，直线 $M A$ ， $M B$ 均与圆O： $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ （ $0 < r < 1$ ）相切，试判断直线 $A B$ 是否过定点，并证明你的结论.

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