江苏省泰州市2022-2023学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-12-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 4 = 0$ 的圆心坐标和半径分别为（）

A、 $(- 1 ， 2)$ ， 3 B、 $(1 ， - 2)$ ， 3 C、 $(- 1 ， 2)$ ， 9 D、 $(1 ， - 2)$ ， 9

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2. 已知直线 $3 x - 4 y + 3 = 0$ 与直线 $6 x + m y - 14 = 0$ 平行，则它们之间的距离是（）

A、 $\frac{17}{5}$ B、2 C、 $\frac{17}{10}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3. 经过点 $P (0 ， - 1)$ 作直线 $l$ ，若直线 $l$ 与连接 $A (1 ， - 2)$ ， $B (2 ， 1)$ 两点的线段总有公共点，则直线 $l$ 的倾斜角 $α$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， \frac{π}{4}] ∪ [\frac{3 π}{4} ， π)$ B、 $[\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4}]$ C、 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}) ∪ (\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4}]$ D、 $(0 ， \frac{π}{4}) ∪ (\frac{3 π}{4} ， π)$

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4. 若方程 $x + b = \sqrt{4 - x^{2}}$ 有两个实数解，则实数 $b$ 的取值范围为（）

A、 $[- 2 ， 2 \sqrt{2}]$ B、 $(0 ， 2 \sqrt{2}]$ C、 $(- 2 \sqrt{2} ， 2 \sqrt{2})$ D、 $[2 ， 2 \sqrt{2})$

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5. 若抛物线 $y = m x^{2}$ 上一点 $(t ， 2)$ 到其焦点的距离等于4，则（）

A、 $m = \frac{1}{4}$ B、 $m = \frac{1}{8}$ C、 $m = 4$ D、 $m = 8$

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6. 已知数列：1，1，2，3，5，8，…，则144是该数列的第（）项．

A、10 B、11 C、12 D、13

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7. 设 $F$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点， $O$ 为坐标原点，过 $F$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $H$ ，若 $△ F O H$ 的内切圆与 $x$ 轴切于点 $B$ ，且 $\vec{B F} = 3 \vec{O B}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{2 + 2 \sqrt{7}}{3}$ B、 $\frac{3 + \sqrt{7}}{3}$ C、 $\frac{4 + \sqrt{7}}{3}$ D、 $\frac{5 + \sqrt{7}}{3}$

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8. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数 $e$ 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当 $0 < e < 1$ 时，轨迹为椭圆；当 $e = 1$ 时，轨迹为抛物线；当 $e > 1$ 时，轨迹为双曲线.现有方程 $m (x^{2} + y^{2} + 2 y + 1) = {(x - 2 y + 3)}^{2}$ 表示的曲线是双曲线，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 5)$ D、 $(5 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 下列说法中，正确的有（）

A、点斜式 $y - y_{1} = k (x - x_{1})$ 可以表示任何直线 B、直线 $y = 4 x - 2$ 在 $y$ 轴上的截距为-2 C、直线 $2 x - y + 3 = 0$ 关于 $x - y = 0$ 对称的直线方程是 $x - 2 y + 3 = 0$ D、点 $P (2 ， 1)$ 到直线的 $a x + (a - 1) y + a + 3 = 0$ 的最大距离为 $2 \sqrt{10}$

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10. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差为 $d$ ．已知 $a_{4} = 12$ ， $S_{14} > 0$ ， $S_{15} < 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{7} < 0$ B、 $- \frac{24}{7} < d < - 3$ C、 $S_{7} = 84$ D、设 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则 $T_{n} > 0$ 时， $n$ 的最大值为27

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11. 已知圆 $M ： (x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 4$ ，直线 $l ： x + y - 2 = 0$ ， $P$ 为直线 $l$ 上的动点，过 $P$ 点作圆 $M$ 的切线 $P A$ ， $P B$ ，切点为A， $B$ ，则下列说法正确的是（）

A、四边形 $M A P B$ 面积的最小值为4 B、线段 $A B$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ C、当直线 $A B$ 的方程为 $x + y = 0$ 时， $∠ A P B$ 最小 D、若动直线 $l_{1} / / l$ ， $l_{1}$ 且交圆 $M$ 于 $C$ 、 $D$ 两点，且弦长 $C D \in (2 \sqrt{2} ， 2 \sqrt{3})$ ，则直线 $l_{1}$ 横截距的取值范围为 $(\sqrt{2} - 2 ， 0) \cup (- 4 ， - \sqrt{2} - 2)$

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12. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0 ， b_{2} > 0)$ 有公共的焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，设 $P$ 是 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的一个交点， $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的离心率分别是 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | = b_{1}^{2} + b_{2}^{2}$ B、 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积 $S = b_{1} b_{2}$ C、若 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则 $\frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{2}{e_{2}^{2}} = 4$ D、 $t a n \frac{∠ F_{1} P F_{2}}{2} = \frac{b_{2}}{b_{1}}$

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三、填空题

13. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 105$ ， $a_{2} + a_{4} + a_{6} = 99$ ，则 $a_{22} =$ ．

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14. 写出与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 $(x - 2)^{2} + (y - 2 \sqrt{3})^{2} = 1$ 都相切的一条切线方程．

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15. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ ，点 $P$ 为直线 $x + y = 2$ 上一动点，过点 $P$ 向椭圆作两条切线 $P A$ 、 $P B$ ， $A$ 、 $B$ 为切点，则直线 $A B$ 过定点．

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16. 已知抛物线 $M ： x^{2} = 8 y$ ，直线 $l ： y = k x + 2$ 与抛物线交于 $A$ ， $D$ 两点，与圆： $N ： x^{2} + y^{2} - 4 y + 3 = 0$ 交于 $B$ ， $C$ 两点（ $A$ ， $B$ 在第一象限），则 $| A C | + 2 | B D |$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{n + 1} = a_{n} + d$ ，（ $n \in N^{*}$ ， $d < 0$ ），若 $S_{3} = 12$ ， $a_{3} a_{5} + 2 a_{3} - 5 a_{5} - 10 = 0$ ．求：

(1)、数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、 $S_{n}$ 的最值．

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18. 已知的 $△ A B C$ 顶点 $A (1 ， 2)$ ， $B (- 3 ， 2)$ ，直线 $B C$ 的斜率为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求过点A，且在两坐标轴上截距相等的直线方程；

(2)、求角B的角平分线所在直线方程．

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19. 直线l经过抛物线 $y^{2} = 8 x$ 焦点 $F$ ，且与抛物线相交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D.

(1)、若直线l的斜率为2，求线段AB的长；

(2)、求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.

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20. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $2 c$ ，左右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，圆 $F_{1} ： (x + c)^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $F_{2} ： (x - c)^{2} + y^{2} = 9$ 相交，且交点在椭圆E上，直线 $l ： y = x + m$ 与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为 $- \frac{1}{4}$ ．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、若 $m = 1$ ，试问E上是否存在P、Q两点关于l对称，若存在，求出直线PQ的方程，若不存在，请说明理由．

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21. 已知双曲线C过点 $P (\frac{\sqrt{6}}{2} ， 1)$ ， $Q (\sqrt{2} ， \sqrt{2})$ .

(1)、求双曲线C的标准方程；

(2)、已知 $A (3 ， 4)$ ，过点 $(\frac{1}{3} ， 0)$ 的直线l与双曲线C交于不同两点M、N，设直线AM、AN的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，求证： $k_{1} + k_{2}$ 为定值.

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22. 长为4的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB的中点P的轨迹为曲线C．

(1)、求曲线C的方程，并说明其形状；

(2)、过点 $M (0 ， 2)$ 作两条直线分别与曲线C交于P、Q两点，若直线MP，MQ的斜率之积为-2，线段PQ的中点为D，求证：存在定点E，使得 $| D E |$ 为定值，并求出此定值．

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