江苏省南通市如皋市2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若一条直线经过两点 $(- 1 ， 3)$ 和 $(\sqrt{3} ， - \sqrt{3})$ ，则该直线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、32 B、16 C、15 D、8

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3. 已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为（）

A、π B、2π C、3π D、4π

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4. 设 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $α // β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m // n$ C、若 $m ⊥ n$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m // n$ ， $n // β$ ，则 $α ⊥ β$

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5. 我国明代数学家、音乐理论家朱载堉创立了十二平均律，他是第一个利用数学使音乐公式化的人·十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，从第二个半音开始每一个半音与前一个半音的频率之比为同一个常数，如下表所示，其中 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{13}$ 表示这些半音的频率，若半音G与 $D^{'}$ 的频率之比为 $\sqrt[3]{2}$ ，则 $F^{'}$ 与A的频率之比为（）
频率
$a_{1}$
$a_{2}$
$a_{3}$
$a_{4}$
$a_{5}$
$a_{6}$
$a_{7}$
$a_{8}$
$a_{9}$
$a_{10}$
$a_{11}$
$a_{12}$
$a_{13}$
半音
C
$C^{'}$
D
$D^{'}$
E
F
$F^{'}$
G
$G^{'}$
A
$A^{'}$
B
C(八度)

A、 $\sqrt[4]{2}$ B、 $\frac{\sqrt[4]{8}}{2}$ C、2 D、 $\sqrt[3]{4}$

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6. 已知 $l$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的一条准线， $P$ 是 $l$ 上的一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是C的两个焦点，若 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，则点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

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7. 等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{3} = 10$ ， $a_{2} + a_{4} = 5$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = \frac{1}{4}$ ， $n \geq 2$ 时， $b_{n} - b_{n - 1} = \frac{1}{a_{n}}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的通项公式为（）

A、 $2^{n - 3}$ B、 $2^{n - 2}$ C、 $\frac{3}{4} - \frac{1}{2^{n}}$ D、 $\frac{3}{4} + 2^{n - 3}$

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8. 已知圆 $O_{1} ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$ ，圆 $O_{2} ： x^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{1}{4}$ ，过点 $(1 ， 2)$ 两条互相垂直的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，其中 $l_{1}$ 与圆 $O_{1}$ 交于A，B， $l_{2}$ 与圆 $O_{2}$ 交于C，D，且 $| A B | = \frac{1}{2} | C D |$ ，则 $| A B | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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二、多选题

9. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，则（）

A、数列 $a_{2}$ ， $a_{4}$ ， $a_{8}$ 成等比数列 B、数列 $a_{1} \cdot a_{2}$ ， $a_{3} \cdot a_{4}$ ， $a_{5} \cdot a_{6}$ 成等比数列 C、数列 $a_{1} + a_{2}$ ， $a_{3} + a_{4}$ ， $a_{5} + a_{6}$ 成等比数列 D、数列 $a_{1} + a_{2} + a_{3}$ ， $a_{4} + a_{5} + a_{6}$ ， $a_{7} + a_{8} + a_{9}$ 成等比数列

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10. 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40mm，满盘时直径为120mm，已知该卫生纸的厚度为0.1mm，为了求出满盘时卫生纸的总长度 $l$ ，下列做法正确的是（）

A、从底面看，可以将绕在盘上的卫生纸看作一组同心圆，由内向外各圈的半径分别是20.0，21.1，…，59.9 B、从底面看，可以将绕在盘上的卫生纸看作一组同心圆，由内向外各圈的半径分别是20.05，20.15，…，59.95 C、同心圆由内向外各圈周长组成一个首项为 $40.1 π$ ，公差为 $0.2 π$ 的等差数列 D、设卷筒的高度为 $h$ ，由等式 $π (6 0^{2} - 2 0^{2}) \cdot h = 0.1 h \cdot l$ 可以求出卫生纸的总长 $l$

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11. 已知双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ， C的两条渐近线分别为 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，点 $P$ 为C右支上任意一点，它到 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的距离分别为 $d_{1}$ ， $d_{2}$ ，到右焦点的距离为 $d_{3}$ ，则（）

A、 $d_{1}$ 的取值范围为 $[\frac{\sqrt{3}}{2} ， + \infty)$ B、 $d_{3}$ 的取值范围为 $[2 ， + \infty)$ C、 $d_{1} + d_{2}$ 的取值范围为 $[\sqrt{3} ， + \infty)$ D、 $d_{1} + d_{3}$ 的取值范围为 $[\sqrt{3} ， + \infty)$

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12. 如图，已知正方体的棱长为1， $O_{1}$ ， $O_{2}$ 分别为正方体中上、下底面的中心， $O_{3}$ ， $O_{4}$ ， $O_{5}$ ， $O_{6}$ 分别为四个侧面的中心，由这六个中心构成一个八面体的顶点，则（）

A、直线 $O_{1} O_{3}$ 与直线 $O_{2} O_{4}$ 所成角为 $60 °$ B、二面角 $O_{1} - O_{3} O_{4} - O_{5}$ 的正切值为 $\sqrt{3}$ C、这个八面体的表面积为 $\sqrt{3}$ D、这个八面体外接球的体积为 $\frac{π}{6}$

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三、填空题

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} = \frac{1}{(n + 1) (n + 2)}$ ，则此数列的前8项和为．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项之和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = 2 S_{n - 1} (n \geq 2)$ ，且 $a_{1} = 1$ ，则 $n \geq 2$ 时， $a_{n} =$ ．

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15. 在正三棱锥 $P - A B C$ 中，O为底面 $△ A B C$ 的中心， $P O = 3$ ， $A B = 2$ ， $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 分别在棱PA，PB，PC上，且 $P A_{1} ： P A = P B_{1} ： P B = P C_{1} ： P C = 1 ： 3$ ，圆柱 $O_{1} O$ 的上底面是 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的内切圆，下底面在平面ABC内，则圆柱 $O_{1} O$ 的侧面积为．

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16. 已知V为圆锥顶点，圆锥的轴截面 $△ V A B$ 是边长为2的正三角形，过点A作与底面成 $30 °$ 的平面，此平面与圆锥侧面的交线为椭圆，则椭圆的长轴长为；离心率为．

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四、解答题

17. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{6} = 15$ ， $S_{5} = 45$ ．

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、若 $a_{n}$ 为 $a_{n - 3}$ 与 $a_{2 n - 1} (n \geq 4 ， n \in N^{*})$ 的等比中项，求 $n$ ．

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18. 在正四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知 $A B = 2$ ， $P A = 3$ ， $E$ ， $G$ 分别为 $P B$ ， $P D$ 的中点，平面 $A E G ∩$ 平面 $A B C D = l$ ．

(1)、求证： $E G / / l$ ；

(2)、求三棱锥 $P - A E G$ 的体积．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 2} = {\begin{array}{l} a_{n} + 2 ， n 为奇数 \\ 2 a_{n} ， n 为偶数 \end{array}$ 且 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ．

(1)、求通项 $a_{n}$ ；

(2)、求数列 ${a_{2 n - 1} \cdot a_{2 n}}$ 的前 $n$ 项之和 $T_{n}$ ．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为e，且过点 $(1 ， e)$ 和 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若椭圆C上有两个不同点A，B关于直线 $y = x + \frac{1}{2}$ 对称，求 $| A B |$ ．

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21. 在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B = 1$ ， $A_{1} A = 2$ ， E为棱 $C C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $A_{1} E ⊥ B D$ ；

(2)、求 $A_{1} E$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成角的余弦值．

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22. 已知圆 $C ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ ，抛物线 $E ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，过原点作圆C的切线交抛物线于A，且 $| O A | = 16 \sqrt{3}$ ．

(1)、求抛物线E的方程；

(2)、设P是抛物线E上一点，过点P作圆C的两条切线分别交抛物线E于Q，R，若直线 $Q R$ 的斜率为-1，求P的坐标．

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