湖北省重点中学4G 联合体2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-07 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知点 $A (0 ， \sqrt{3})$ ，点 $B (- 1 ， 2 \sqrt{3})$ ，则直线 $A B$ 的倾斜角为（）

A、 $3 0^{∘}$ B、 $4 5^{∘}$ C、 $12 0^{∘}$ D、 $13 5^{∘}$

查看试题解析
2. 如图，在斜棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，AC与BD的交点为点M， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{M C_{1}} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

查看试题解析
3. 在一些山谷中有一种奇特的现象，在一处呼喊一声，在另一处会间隔听到两次呼喊，前一次是声音直接传到听者耳朵中，后一次是声音经过山壁反射后再传到听者耳朵中.假设有一片椭圆形状的空旷山谷，甲､乙两人分别站在椭圆的两个焦点处，甲呼喊一声，乙经过 $2 s$ 听到第一声，又过 $4 s$ 听到第二声，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

查看试题解析
4. 已知空间内三点 $A (1 ， 0 ， 2)$ ， $B (- 1 ， 2 ， 0)$ ， $C (0 ， 3 ， 1)$ ，则点A到直线 $B C$ 的距离是（）

A、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

查看试题解析
5. 若直线y＝kx＋1与圆x²＋y²＋kx＋my－4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x＋2y＝0对称，则实数k＋m的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、0

查看试题解析
6. 有2个人在一座8层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开电梯的概率是（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{6}{7}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{1}{8}$

查看试题解析
7. 如图，某圆锥 $S O$ 的轴截面 $S A C$ ，其中 $S A = \sqrt{5} A O$ ，点B是底面圆周上的一点，且 $c o s ∠ B O C = \frac{2}{3}$ ，点M是线段 $S A$ 的中点，则异面直线 $S B$ 与 $C M$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{35}}{35}$ B、 $\frac{6 \sqrt{65}}{65}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{15}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$

查看试题解析
8. 几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点 $M ， N$ 是锐角 $∠ A Q B$ 的一边 $Q A$ 上的两点，试在 $Q B$ 边上找一点 $P$ ，使得 $∠ M P N$ 最大.”如图，其结论是：点 $P$ 为过 $M$ ， $N$ 两点且和射线 $Q B$ 相切的圆与射线 $Q B$ 的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系 $x O y$ 中，给定两点 $M (- 1 ， 2) ， N (1 ， 4)$ ，点 $P$ 在 $x$ 轴上移动，当 $∠ M P N$ 取最大值时，点 $P$ 的横坐标是（）

A、1 B、-7 C、1或-1 D、1或-7

查看试题解析

二、多选题

9. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 $A =$ “第一枚正面朝上”，事件 $B =$ “第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（）

A、 $P (A) = \frac{1}{2}$ B、 $P (A B) = \frac{1}{4}$ C、事件 $A$ 与 $B$ 互斥 D、事件 $A$ 与 $B$ 相互独立

查看试题解析
10. 在曲线 $C ： A x^{2} + B y^{2} = 1 (A > 0 ， B > 0)$ 中，（）

A、当 $A > B$ 时，则曲线C表示焦点在y轴的椭圆 B、当 $A \neq B$ 时，则曲线C为椭圆 C、曲线C关于直线 $y = x$ 对称 D、当 $A \neq B$ 时，则曲线C的焦距为 $2 \sqrt{\frac{| A - B |}{A B}}$

查看试题解析
11. 以下四个命题表述正确的是（）

A、直线 $m x + 4 y - 12 = 0 (m \in R)$ 恒过定点 $(0 ， 3)$ B、圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x - 8 y + 4 = 0$ 恰有三条公切线 C、两圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y = 0$ 与 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 12 = 0$ 的公共弦所在的直线方程为 $x + 2 y + 6 = 0$ D、已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 2$ ， $P$ 为直线 $x + y + 2 \sqrt{3} = 0$ 上一动点，过点 $P$ 向圆 $C$ 引条切线 $P A$ ，其中 $A$ 为切点，则 $P A$ 的最小值为 $\sqrt{2}$

查看试题解析
12. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1$ ，点P满足 $\vec{C P} = λ \vec{C D} + μ {\vec{C C}}_{1}$ ，其中 $λ \in [0 ， 1] ， μ \in [0 ， 1]$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $B_{1} P / /$ 平面 $A_{1} B D$ 时， $B_{1} P$ 可能垂直 $C D_{1}$ B、若 $B_{1} P$ 与平面 $C C_{1} D_{1} D$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ ，则点P的轨迹长度为 $\frac{π}{2}$ C、当 $λ = μ$ 时， $| \vec{D P} | + | \vec{A_{1} P} |$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{2}$ D、当 $λ = 1$ 时，正方体经过点 $A_{1}$ ､P､C的截面面积的取值范围为[ $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ， $\sqrt{2}$ ]

查看试题解析

三、填空题

13. 已知椭圆 $x^{2} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ $(a > 0)$ 的一个焦点坐标为 $(0 ， 1)$ ，则 $a =$ .

查看试题解析
14. 二面角 $α - l - β$ 为 $60 °$ ， A，B是棱l上的两点， $A C$ ， $B D$ 分别在半平面 $α ， β$ 内， $A C ⊥ l$ ， $B D ⊥ l$ ，且 $A B = A C = 2$ ， $B D = 4$ ，则 $C D$ 的长.

查看试题解析
15. 甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）.根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1，则甲以 $3 ： 1$ 取得胜利的概率为.

查看试题解析
16. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 ， B C = 3 ， 2 \vec{B E} = \vec{E C} ， Q$ 是平面 $A B C D$ 内的一点，且 $\vec{Q D} = \vec{B E}$ ，则 $| \vec{A Q} | =$ ； $P$ 是平面 $A B C D$ 内的动点，且 $\vec{A P} \cdot \vec{A B} = {\vec{A P}}^{2}$ ，若 $0 < t < 1$ ，则 $| \vec{B E} + t \vec{D E} | + | \vec{P E} + (t - 1) \vec{D E} |$ 的最小值为.

查看试题解析

四、解答题

17. 直线 $l$ 经过两直线 $l_{1} ： x + y = 0$ 和 $l_{2} ： 2 x + 3 y - 2 = 0$ 的交点．

(1)、若直线 $l$ 与直线 $3 x + y - 1 = 0$ 垂直，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若点 $A (3 ， 1)$ 到直线 $l$ 的距离为5，求直线 $l$ 的方程．

查看试题解析
18. 已知向量 $\vec{a} = (- 2 ， - 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 1 ， 2)$ ， $\vec{c} = (x ， 2 ， 2)$ .

(1)、当 $| \vec{c} | = 2 \sqrt{2}$ 时，若向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 垂直，求实数x和k的值；

(2)、当 $x = - \frac{1}{2}$ 时，求证：向量 $\vec{c}$ 与向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共面.

查看试题解析
19. 一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.

(1)、求第二次取到红球的概率；

(2)、求两次取到的球颜色相同的概率；

(3)、如果袋中装的是4个红球， $n$ 个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为 $\frac{2}{5}$ ，那么 $n$ 是多少？

查看试题解析
20. 已知圆心为 $C$ 的圆经过点 $A (- 1 ， 1)$ 和 $B (- 2 ， - 2)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $l ： x + y - 1 = 0$ 上.

(1)、求此圆的标准方程；

(2)、设点 $P (x ， y)$ 是圆 $C$ 上的动点，求 $x^{2} + y^{2} - 8 y + 16$ 的最小值，以及取最小值时对应的点 $P$ 的坐标.

查看试题解析
21. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD $∥$ BC，AD⊥AB，侧面PAB⊥底面ABCD， $P A = P B = A D = \frac{1}{2} B C = 2$ ，且E，F分别为PC，CD的中点．

(1)、证明：DE $∥$ 平面PAB；

(2)、若直线PF与平面PAB所成的角为 $60 °$ ，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．

查看试题解析
22. 已知 $A ， B$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右顶点，且短轴长为 $2 ， M$ 是椭圆 $C$ 上位于 $x$ 轴上方的动点，且直线 $A M$ 的斜率与直线 $B M$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $A M ， B M$ 与直线 $l ： x = 4$ 分别交于 $C ， D$ 两点，记 $△ M A B$ 和 $△ M C D$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ .求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

查看试题解析