湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-12-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $x - 2 y + 2 = 0$ 在x轴上的截距是（）

A、1 B、-1 C、-2 D、2

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的焦点坐标为

A、 $(\pm \sqrt{3} ， 0)$ B、 $(0 ， \pm \sqrt{3})$ C、 $(\pm \sqrt{5} ， 0)$ D、 $(0 ， \pm \sqrt{5})$

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3. 已知 $\vec{a} = (1 ， 0 ， 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， 1 ， 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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4. 若曲线 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$ 与曲线 $C_{2} ： y (y - m x - m) = 0$ 有四个不同的交点，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ B、 $(- \frac{\sqrt{3}}{3} ， 0) ∪ (0 ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ C、 $[- \frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$ D、 $(- ∞ ， - \frac{\sqrt{3}}{3}) ∪ (\frac{\sqrt{3}}{3} ， + ∞)$

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5. 对于直线 $m, n$ 和平面 $α, β$ ， $α ⊥ β$ 的一个充分条件是（）

A、 $m ⊥ n$ ， $m$ ∥ $α$ ， $n$ ∥ $β$ B、 $m ⊥ n$ ， $α \cap β = m$ ， $n \subset α$ C、 $m / / n$ ， $n ⊥ β$ ， $m \subset α$ D、 $m / / n$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$

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6. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段 $B F_{1}$ 的中点，且 $B F_{1} ⊥ B F_{2}$ ，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{3} + 1$ D、3

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7. 已知点P在直线 $y = x - 2$ 上运动，点E是圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上的动点，点F是圆 $(x - 6)^{2} + (y + 5)^{2} = 9$ 上的动点，则 $| P F | - | P E |$ 的最大值为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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8. 在正四面体 $D - A B C$ 中，点E在棱AB上，满足 $A E = 2 E B$ ，点F为线段AC上的动点，则（）

A、存在某个位置，使得 $D E ⊥ B F$ B、存在某个位置，使得 $∠ F D B = \frac{π}{4}$ C、存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{14}$ D、存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、多选题

9. 方程 $x^{2} + y^{2} - a x + 2 a y + 2 a + 1 = 0$ 表示圆，则实数a的可能取值为（）

A、4 B、2 C、0 D、-2

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10. 若直线m被两平行直线 $l_{1} ： x - \sqrt{3} y + \sqrt{3} = 0$ 与 $l_{2} ： x - \sqrt{3} y + 3 \sqrt{3} = 0$ 所截得的线段长为 $\sqrt{6}$ ，则直线m的倾斜角可以是（）

A、 $30 °$ B、 $75 °$ C、 $135 °$ D、 $165 °$

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11. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ ， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为它的左、右焦点， $A$ 、 $B$ 分别为它的左、右顶点，点 $P$ 是椭圆上的一个动点，下面结论中正确的有（）

A、 $| \vec{P F_{1}} + \vec{P F_{2}} |$ 的最小值为8 B、 $c o s ∠ F_{1} P F_{2}$ 的最小值为 $\frac{7}{25}$ C、若 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为 $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$ D、直线 $P A$ 与直线 $P B$ 斜率乘积为定值 $\frac{16}{25}$

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12. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 及其边界上运动，则下列选项中正确的是（）

A、存在点P满足 $P M + P D_{1} = \sqrt{5}$ B、存在点P满足 $∠ D_{1} P M = \frac{π}{2}$ C、满足 $A P ⊥ D_{1} M$ 的点P的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、满足 $M P ⊥ D_{1} M$ 的点P的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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三、填空题

13. 设方程 $x^{2} + k y^{2} = 2$ 表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是.

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14. 过点 $P (4 ， 3)$ 做圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 的两条切线，切点分别为M，N，则 $| M N | =$ ．

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15. 如图，两条异面直线a，b所成角为 $60 °$ ，在直线上a，b分别取点 $A^{'}$ ， E和点A，F，使 $A A^{'} ⊥ a$ 且 $A A^{'} ⊥ b$ .已知 $A^{'} E = 2$ ， $A F = 3$ ， $E F = 5$ .则线段 $A A^{'} =$ .

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16. 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此乘坐出租车时往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行进．在平面直角坐标系中，定义 $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ 之间的“出租车距离”为 $d (P ， Q) = | x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ ．已知 $A (- 6 ， - 1) ， B (- 3 ， 3) ， C (2 ， 1)$ ，则到点A，B“距离”相等的点的轨迹方程为，到A，B，C三点“距离”相等的点的坐标为．

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四、解答题

17. 已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ．

(1)、求C的标准方程；

(2)、若直线 $l ： y = \frac{1}{2} x - 1$ 与双曲线C交于A，B两点，求 $| A B |$ ．

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18. 已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (5 ， 1)$ ，重心 $G (3 ， 3)$ ．

(1)、求线段BC的中点坐标；

(2)、记 $△ A B C$ 的垂心为H，若B、H都在直线 $y = - x$ 上，求H的坐标．

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A B / / C D$ ， $∠ B A D = 9 0^{∘}$ ， $P D = D C = B C = 2 P A = 2 A B = 2$ ， $P D ⊥ C D$ ．

(1)、求证： $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求直线 $B D$ 与平面 $B P C$ 所成角的正弦值．

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20. 如图，已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ ，点 $P$ 为直线 $x + 2 y - 3 \sqrt{5} = 0$ 上一动点，过点 $P$ 作圆 $O$ 的切线，切点分别为 $M$ 、 $N$ ，且两条切线 $P M$ 、 $P N$ 与 $x$ 轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点．

(1)、当 $P$ 在直线 $y = x$ 上时，求 $| P A | - | P B |$ 的值；

(2)、当 $P$ 运动时，直线 $M N$ 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．

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21. 已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ， $E$ 点为棱 $A B$ 的中点．

(1)、求二面角 $A - E C_{1} - C$ 的余弦值；

(2)、连接 $E C$ ，若 $P$ 点为直线 $E C$ 上一动点，求当 $P$ 点到直线 $B B_{1}$ 距离最短时，线段 $E P$ 的长度．

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(- \sqrt{3} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，过其右焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且 $| A B | = 3$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若矩形 $M N P Q$ 满足各边均与椭圆C相切，求该矩形面积的最大值，并说明理由．

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