湖北省问津联合体2022-2023学年高二上学期11月期中联考数学试题

试卷更新日期：2022-12-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $x + \sqrt{3} y - 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、30º B、60º C、120º D、150º

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2. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，则该椭圆的焦距为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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3. 已知直线 $l_{1}$ ： $(a - 3) x + (4 - a) y + 1 = 0$ ，与 $l_{2}$ ： $2 (a - 3) x - 2 y + 3 = 0$ 平行，则a的值是（）

A、3 B、-5 C、3或-5 D、3或5

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4. 已知四棱锥 $P - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点， $\frac{C M}{C B} = \frac{1}{3}$ ， $P N = N D$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A P} = \vec{c}$ ，则向量 $\vec{M N}$ 用 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 为基底表示为（）

A、 $\vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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5. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面ABC， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = A A_{1} = \sqrt{3}$ ， $A C = 1$ ，则异面直线 $A C_{1}$ 与 $C B_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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6. 若直线 $y = k (x - 4) + 2$ 与曲线 $x = \sqrt{4 - y^{2}}$ 恰有两个交点，则实数k的取值范围是（）

A、 $[1 ， \frac{4}{3})$ B、 $(0 ， \frac{4}{3})$ C、 $[1 ， \frac{5}{3})$ D、 $(0 ， \frac{5}{3})$

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7. 已知点 $F_{1} (- 2 ， 0)$ ，圆 $F_{2} ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 36$ ，点 $M$ 是圆上一动点，线段 $M F_{1}$ 的垂直平分线与 $M F_{2}$ 交于点 $N$ .则点 $N$ 的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $x - 3 y - 2 = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} = 36$ D、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$

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8. 如图所示，椭圆中心在原点，F是左焦点，直线 $A B_{1}$ 与BF交于点D，且 $∠ B D B_{1} = 90 °$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $\sqrt{\frac{\sqrt{5} - 1}{2}}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、多选题

9. 口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件 $A =$ “取出的两球同色”， $B =$ “第一次取出的是红球”， $C =$ “第二次取出的是红球”， $D =$ “取出的两球不同色”，下列判断中正确的（）

A、A与B相互独立. B、A与D互为对立. C、B与C互斥. D、B与D相互独立；

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10. 下列四个命题中真命题有（）

A、任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B、已知直线 $3 x + 4 y + 9 = 0$ 与直线 $6 x + m y + 24 = 0$ 平行，则平行线间的距离是1 C、点 $(0 ， 2)$ 关于直线 $y = x + 1$ 的对称点为 $(1 ， 1)$ D、经过点 $(1 ， 1)$ 且在 $x$ 轴和 $y$ 轴上截距都相等的直线方程为 $x + y - 2 = 0$

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11. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $M ： x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 4 = 0$ 相交于 $A ､ B$ 两点，下列说法正确的是（）

A、圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上存在4个点到直线 $l ： x - y + \sqrt{2} = 0$ 的距离都等于1 B、直线 $A B$ 的方程为 $x - 2 y - 4 = 0$ C、线段 $A B$ 的长为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、取圆 $M$ 上点 $C (a ， b)$ ，则 $2 a - b$ 的最大值为 $4 + \sqrt{5}$

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12. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $M$ 是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，点 $P$ 是 $A_{1} D_{1}$ 的中点， $N$ 为 $D C$ 的中点，点 $Q$ 在正方形 $D C C_{1} D_{1}$ 及其内部运动，若 $P Q //$ 面 $M B C_{1}$ ，则下列说法正确的是（）

A、过点 $M$ ， $B$ ， $Q$ 的截面为菱形 B、三棱锥 $C_{1} - Q M B$ 的体积为定值 C、 $A Q$ 与平面 $D C C_{1} D_{1}$ 所成角正切值的最小值为 $\frac{4 \sqrt{17}}{17}$ D、三棱锥 $N - M B C_{1}$ 外接球的表面积为 $9 π$

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三、填空题

13. 在空间直角坐标系中，若点 $(3 ， 2 ， - 1)$ 关于Oxy坐标平面的对称点为点A，点 $(2 ， - 1 ， 1)$ 关于坐标原点O的对称点为点B，则 $\vec{A B}$ 的坐标为．

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14. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数 $m, n$ 作为 $P$ 的坐标，则点 $P$ 落在圆 $x^{2} + y^{2} = 16$ 内的概率.

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15. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + 1 = 0$ ，直线 $l ： x + y - 4 = 0$ ，若在直线 $l$ 上任取一点 $M$ 作圆 $C$ 的切线 $M A ， M B$ ，切点分别为 $A ， B$ ，则 $∠ A C B$ 最小时，原点 $O$ 到直线 $A B$ 的距离为.

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16. 如图， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点，点P是以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长 $P F_{2}$ 与椭圆交于点Q，若 $| P F_{1} | = 4 | Q F_{2} |$ ，则直线 $P F_{2}$ 的斜率为．

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四、解答题

17. 平面直角坐标系中，已知△ $A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (- 1 ， 2)$ ， $B (- 3 ， 4)$ ， $C (0 ， 6)$ .

(1)、求 $B C$ 边所在的直线方程；

(2)、求△ $A B C$ 的面积.

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $M$ 的圆心在直线 $y = - 2 x$ 上，且圆 $M$ 与直线 $x + y - 1 = 0$ 相切于点 $P (2, - 1)$ .

(1)、求圆 $M$ 的方程；

(2)、过坐标原点 $O$ 的直线 $l$ 被圆 $M$ 截得的弦长为 $\sqrt{6}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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19. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．

(1)、若 $△ P O F_{2}$ 为等边三角形，求C的离心率；

(2)、如果存在点P ，使得 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，且 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积等于16，求b的值和a的取值范围.

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20. 甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮，该小组最多参加三轮活动.已知每一轮甲猜对歌名的概率是 $\frac{3}{4}$ ，乙猜对歌名的概率是 $\frac{2}{3}$ ，丙猜对歌名的概率是 $\frac{1}{2}$ ，甲、乙、丙猜对与否互不影响.

(1)、求该小组未能进入第二轮的概率；

(2)、该小组能进入第三轮的概率；

(3)、乙猜歌曲的次数不小于2的概率.

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21. 如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且 $\frac{P F}{P C} = \frac{1}{3}$ ．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；

（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；

（Ⅲ）设点G在PB上，且 $\frac{P G}{P B} = \frac{2}{3}$ ．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．

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22. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长是短轴长的 $\sqrt{2}$ 倍，且经过点 $(\sqrt{2}, 1)$ .

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、 $C$ 的右顶点为 $A$ ，过 $C$ 右焦点的直线 $l$ 与 $C$ 交于不同的两点 $M$ ， $N$ ，求 $Δ A M N$ 面积的最大值.

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