河南省信阳市2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在空间直角坐标系中，点 $A (1 ， - 3 ， 5)$ 关于平面yoz对称点的坐标为（）

A、 $(- 1 ， - 3 ， 5)$ B、 $(1 ， 3 ， 5)$ C、 $(- 1 ， 3 ， - 5)$ D、 $(1 ， 3 ， - 5)$

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2. 下列直线在 $y$ 轴上的截距为 $2$ 的是（）

A、 $y = - 2 (x - 2)$ B、 $\frac{x}{4} - \frac{y}{2} = 1$ C、 $y = - 3 x - 2$ D、 $y = - (x - 2)$

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3. 直线l的方向向量为 $\vec{m} = (1 ， - 2 ， 3)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (a ， b ， - 6)$ ，若 $l ⊥ α$ ，则（）

A、 $a - b = - 2$ B、 $a + b = 2$ C、 $a - 2 b = 18$ D、 $a + 2 b = 18$

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4. 设向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 不共面，空间一点P满足 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ ，则A，B，C，P四点共面的一组数对 $(x ， y ， z)$ 是（）

A、 $(\frac{1}{4} ， \frac{1}{3} ， \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{1}{4} ， \frac{3}{4} ， \frac{1}{2})$ C、 $(1 ， - 2 ， 3)$ D、 $(- \frac{1}{3} ， \frac{2}{3} ， \frac{1}{2})$

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5. 设 $a \in R$ ，则“ $a = 1$ ”是“直线 $a x + y - 5 = 0$ 与直线 $x + a y + 13 = 0$ 平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 设 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 为空间单位向量， $\vec{O A} ⊥ \vec{O B}$ ， $⟨ \vec{O C} ， \vec{O A} ⟩ = ⟨ \vec{O C} ， \vec{O B} ⟩ = 6 0^{∘}$ ， $\vec{O P} = 2 \vec{O A} - \vec{O B} + 3 \vec{O C}$ ，则 $| \vec{O P} | =$ （）

A、 $\sqrt{14}$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $\sqrt{17}$ D、 $\sqrt{23}$

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7. 若圆 $(x - 1)^{2} + y^{2} = n$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 8 y + 11 = 0$ 外切，则实数n的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C A ⊥ C B$ ， $C A = C B = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ， M为AB的中点.则A₁到平面 $C B_{1} M$ 的距离为（）

A、 $\frac{1}{2} k_{N B} \cdot k_{M B} = - \frac{1}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{11}}{11}$ D、 $\frac{6 \sqrt{22}}{11}$

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9. 若方程 $m x^{2} + y^{2} = n$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则（）

A、 $m > 0$ ， $n > 0$ B、 $m > 0$ ， $n < 0$ C、 $m > 1$ ， $n > 0$ D、 $0 < m < 1$ ， $n > 0$

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10. 将一条线段AB分为两线段AC，CB，若 $\frac{A C}{A B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，则称点C为线段AB的黄金分割点.已知 $A (- 1 ， 0) ， B (1 ， 0) ，$ 圆O以AB为直径，C为线段AB的黄金分割点，直线l过点C且垂直于AB，则圆O上到直线l的距离等于 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的点有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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11. 过点 $(- 2 ， 3)$ 作直线l分别交x，y轴于A，B两点，当 $△ A O B$ （O为坐标原点）的面积等于12时，这样的直线有（）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

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12. 已知点 $A (- 1 ， 0) ， B (1 ， 0) ， C (0 ， 2)$ ，直线 $y = k x + b (k > 0)$ 将 $△ A B C$ 分割成面积相等的两部分，则实数 $b$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{2}{3})$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(1 - \frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$ D、 $(2 - \sqrt{2} ， 1)$

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二、填空题

13. 与向量 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， - 2)$ 反向的单位向量的坐标为.

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14. 平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (- 2 ， 1 ， - 3 m)$ ，平面β的法向量为 $\vec{m} = (1 ， - m ， 2)$ ，若 $α ⊥ β$ ，则m=.

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15. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a>b>0）的离心率为e， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得∠ $F_{1} P F_{2}$ 是钝角，则满足条件的一个e的值为

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16. 某镇有 $A$ 、 $B$ 两所卫生院，分别位于镇政府的西侧和东侧，都距镇政府1公里，为使居民打新冠疫苗有序且不拥挤，规定：某地 $P$ 到 $A$ 院的距离小于到 $B$ 院距离的2倍，在 $A$ 院打疫苗， $P$ 到 $A$ 院的距离大于到 $B$ 院距离的2倍，在 $B$ 院打疫苗， $P$ 到 $A$ 院的距离等于到 $B$ 院距离的2倍，在 $A$ 、 $B$ 两院都可打疫苗.则 $A$ 、 $B$ 两院都可打疫苗的点 $P$ 的轨迹 $C$ 的形状是，到 $B$ 院打疫苗的居民的最远距离为公里.

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三、解答题

17. 如图，设E是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱 $C D$ 的中点， $C D = 2$ .

(1)、求证： $A_{1} B ⊥ A C_{1}$ ；

(2)、求 $A_{1} B$ 与 $B_{1} E$ 所成角的余弦值.

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18. 已知圆 $C$ 经过 $O (0 ， 0) ， A (4 ， 0)$ ，且圆心在直线 $x - y = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $y = 2 x$ 与圆 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，求 $| M N |$ ；

(3)、过 $P (6 ， 1)$ 作圆 $C$ 的两条切线，求切线的长.

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19. 四边形四个顶点是 $A (3 ， 0) ， B (0 ， 4) ， C (4 ， 7) ， D (11 ， 6)$ .

(1)、证明：四边形 $A B C D$ 为直角梯形；

(2)、求 $A D$ 边垂直平分线的方程；

(3)、求 $∠ B A D$ 平分线所在直线的方程.

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20. 已知点 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ，圆 $O$ 以 $A B$ 为直径，点 $P$ 为圆 $O$ 上任一点，过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线段，垂足为 $D$ ， $M$ 在 $P D$ 上，且 $\vec{D M} = \frac{2}{3} \vec{D P}$ ，记 $M$ 点的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、设点 $Q$ 为曲线 $C$ 上异于 $A ， B$ 的任一点，求 $k_{Q A} k_{Q B}$ 的值.

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21. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = A D$ ， O为 $B D$ 的中点， $O A = O D = 1$ ，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，点E在棱 $A D$ 上， $△ O C D$ 为等边三角形.

(1)、若E是 $A D$ 的中点，求 $A D$ 与平面 $B C E$ 所成角的正弦值；

(2)、若 $D E = 2 E A$ ，求二面角 $E - B C - D$ 的大小.

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22. 已知椭圆C的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，点P在椭圆C上， $P F_{1} ⊥ F_{1} F_{2}$ ， $| P F_{1} | = \frac{3}{2}$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、已知M是直线 $l ： x = t$ 上的一点，是否存在这样的直线l，使得过点M的直线与椭圆C相切于点N，且以MN为直径的圆过点 $F_{2}$ ？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由，

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