2022~2023学年中考数学一轮复习专题13四边形判定与性质应用

试卷更新日期：2022-12-07 类型：一轮复习

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一、有关平行四边形的性质与判定

1. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：

(1)、△ABE≌△CDF；

(2)、四边形AECF是平行四边形．

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2. 如图， $▱ A B C D$ 中，E、F是对角线BD上两个点，且满足BE=DF.

(1)、求证：△ABE≌△CDF；

(2)、求证：四边形AECF是平行四边形.

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3. 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且 $E D = B F$ ，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O.

(1)、求证：四边形AFCE是平行四边形；

(2)、若AC平分 $∠ F A E ， A C = 8$ ， $\tan ∠ D A C = \frac{3}{4}$ ，求四边形AFCE的面积.

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4. 如图，在△ABC 中， AD⊥BC于点D、E、F分别是AC、AB 的中点，O是 DF 的中点， EO 的延长线交线段 BD 于点G，连结 DE、EF、FG．

(1)、求证：四边形 DEFG 是平行四边形．

(2)、当AD=5，tan∠EDC= $\frac{5}{2}$ =时，求 FG 的长．

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5. 如图， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是 $△ A B C$ 各边的中点，连接 $D E$ 、 $E F$ 、 $A E$ .

(1)、求证：四边形 $A D E F$ 为平行四边形；

(2)、加上条件 ▲ 后，能使得四边形 $A D E F$ 为菱形，请从① $∠ B A C = 90 °$ ；② $A E$ 平分 $∠ B A C$ ；③ $A B = A C$ ，这三个条件中选择条件填空（写序号），并加以证明.

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6. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E、F分别在边 $A D$ 、 $B C$ 上，且 $∠ A B E = ∠ C D F$ .

(1)、探究四边形 $B E D F$ 的形状，并说明理由；

(2)、连接 $A C$ ，分别交 $B E$ 、 $D F$ 于点G、H，连接 $B D$ 交 $A C$ 于点O.若 $\frac{A G}{O G} = \frac{2}{3}$ ， $A E = 4$ ，求 $B C$ 的长.

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二、有关菱形的性质与判定

7. 如图，在菱形ABCD中， $∠ D A B = 60 °$ ， $A B = 2$ ，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F ，使 $A F = A E$ ，且CF、DE相交于点G

(1)、当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；

(2)、当 $C G = 2$ 时，求AE的长；

(3)、当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．

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8. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．

(1)、求证： $∠ D B G = 90 °$ .

(2)、若 $B D = 6 ， D G = 2 G E$ ．
①求菱形 $A B C D$ 的面积.

②求 $\tan ∠ B D E$ 的值.

(3)、若 $B E = A B$ ，当 $∠ D A B$ 的大小发生变化时（ $0 ° < ∠ D A B < 180 °$ ），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值．

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9. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．

(1)、求BD的长；

(2)、点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE= $\sqrt{3}$ DF，
①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；

②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+ $\sqrt{3}$ CF的值是否也最小？如果是，求CE+ $\sqrt{3}$ CF的最小值；如果不是，请说明理由．

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10. 如图，四边形 $A B C D$ 为平行四边形，延长 $A D$ 到点 $E$ ，使 $D E = A D$ ，且 $B E ⊥ D C$ .

(1)、求证：四边形 $D B C E$ 为菱形；

(2)、若 $△ D B C$ 是边长为2的等边三角形，点 $P$ 、 $M$ 、 $N$ 分别在线段 $B E$ 、 $B C$ 、 $C E$ 上运动，求 $P M + P N$ 的最小值.

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11. 已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．

(1)、如图1，若 $D E ∥ B C$ ，求证：四边形BCDE是菱形；

(2)、如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．
（ⅰ）求∠CED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．

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12. 如图，在▱ $A B C D$ 中，以点 $A$ 为圆心， $A B$ 长为半径画弧交 $A D$ 于点 $F$ ，再分别以点 $B$ 、 $F$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} B F$ 的相同长为半径画弧，两弧交于点 $P$ ；连接 $A P$ 并延长交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $E F$ ．

(1)、根据以上尺规作图的过程，证明四边形 $A B E F$ 是菱形；

(2)、若菱形 $A B E F$ 的边长为 $4$ ， $A E = 4 \sqrt{3}$ ，求菱形 $A B E F$ 的面积．

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三、有关矩形的性质与判定

13. 如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG=CE，连接DG、DE、FG．

(1)、求证：△ABE≌△FCE；

(2)、若AD=2AB，求证：四边形DEFG是矩形．

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14. 如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线.

(1)、求证：AF与DE互相平分；

(2)、当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由.

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15. 如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90°

(1)、求证：四边形ABDF是矩形；

(2)、若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S．

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16. 如图， $▱ A B C D$ 中， $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $O A$ ， $O C$ 的中点.

(1)、求证： $B E = D F$ ；

(2)、设 $\frac{A C}{B D} = k$ ，当 $k$ 为何值时，四边形 $D E B F$ 是矩形？请说明理由.

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17. 如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM=a，CN=b，若ab=8．

(1)、判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；

(2)、①当a=b时，求∠ECF的度数；
②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．

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18. 如图，在矩形 ABCD中，AB=6，BC=8，动点 E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A， D关于直线 BE的对称点分别为M，N，连结MN ．

(1)、如图，当E在边AD上且 DE=2时，求 ∠AEM的度数．

(2)、当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．

(3)、当直线MN恰好经过点 C 时，求DE的长．

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19. 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.

(1)、操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；

操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM.

根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：.

(2)、迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：

将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ.

①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝▲ °，∠CBQ＝▲ °；

②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由.

(3)、拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长.

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20. 如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD.

(1)、求证：四边形ABCD是矩形；

(2)、若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求∠ADO的度数.

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四、有关正方形的性质与判定

21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C$ 的角平分线交 $B C$ 于点D， $D E / / A B ， D F / / A C$ .

(1)、试判断四边形 $A F D E$ 的形状，并说明理由；

(2)、若 $∠ B A C = 90 °$ ，且 $A D = 2 \sqrt{2}$ ，求四边形 $A F D E$ 的面积.

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22. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 上一点，连接 $B E$ ， $B E$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点 $M$ ，交 $C D$ 于点 $N$ ，垂足为 $O$ ，点 $F$ 在 $D C$ 上，且 $M F ∥ A D$ .

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ F M N$ ；

(2)、若 $A B = 8$ ， $A E = 6$ ，求 $O N$ 的长.

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23. 问题解决：如图1，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别在 $A B ， B C$ 边上， $D E = A F ， D E ⊥ A F$ 于点 $G$ .

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是正方形；

(2)、延长 $C B$ 到点 $H$ ，使得 $B H = A E$ ，判断 $△ A H F$ 的形状，并说明理由.
类比迁移：如图2，在菱形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别在 $A B ， B C$ 边上， $D E$ 与 $A F$ 相交于点 $G$ ， $D E = A F ， ∠ A E D = 60 ° ， A E = 6 ， B F = 2$ ，求 $D E$ 的长.

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24. 实践与探究

(1)、操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD ，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M ，折痕为AE ，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF ，则 $∠ E A F =$ 度．

(2)、操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N ．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则 $∠ A E F =$ 度．

(3)、在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：
设AM与NF的交点为点P．求证 $△ A N P ≌ △ F N E$ ：．

(4)、若 $A B = \sqrt{3}$ ，则线段AP的长为．

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五、四边形性质与判定综合运用题

25. 已知，点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 分别在正方形 $A B C D$ 的边 $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 、 $A D$ 上．

(1)、如图1，当四边形 $E F G H$ 是正方形时，求证： $A E + A H = A B$ ；

(2)、如图2，已知 $A E = A H$ ， $C F = C G$ ，当 $A E$ 、 $C F$ 的大小有关系时，四边形 $E F G H$ 是矩形；

(3)、如图3， $A E = D G$ ， $E G$ 、 $F H$ 相交于点 $O$ ， $O E ： O F = 4 ： 5$ ，已知正方形 $A B C D$ 的边长为16， $F H$ 长为20，当 $△ O E H$ 的面积取最大值时，判断四边形 $E F G H$ 是怎样的四边形？证明你的结论．

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26. 如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕点A逆时针旋转至△AB₁E₁的位置，此时E、B₁、E₁三点恰好共线.点M、N分别是AE和AE₁的中点，连接MN、NB₁.

(1)、求证：四边形MEB₁N是平行四边形；

(2)、延长EE₁交AD于点F，若EB₁＝E₁F， $S_{△ A E_{1} F} = S_{△ C B_{1} E}$ ，判断△AE₁F与△CB₁E是否全等，并说明理由.

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27. 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)、概念理解：如图2，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $C B = C D$ ，问四边形 $A B C D$ 是垂美四边形吗？请说明理由；

(2)、性质探究：如图1，垂美四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ．猜想： $A B^{2} + C D^{2}$ 与 $A D^{2} + B C^{2}$ 有什么关系？并证明你的猜想．

(3)、解决问题：如图3，分别以 $Rt △ A C B$ 的直角边 $A C$ 和斜边 $A B$ 为边向外作正方形 $A C F G$ 和正方形 $A B D E$ ，连结 $C E$ ， $B G$ ， $G E$ ．已知 $A C = 4$ ， $A B = 5$ ，求 $G E$ 的长．

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28. 如图，正方形 $A B D E$ 和 $B C F G$ 的边 $A B$ ， $B C$ 在同一条直线上，且 $A B = 2 B C$ ，取 $E F$ 的中点 $M$ ，连接 $M D$ ， $M G$ ， $M B$ ．

(1)、试证明 $D M ⊥ M G$ ，并求 $\frac{M B}{M G}$ 的值．

(2)、如图，将如图中的正方形变为菱形，设 $∠ E A B = 2 α (0 < α < 90 °)$ ，其它条件不变，问（1）中 $\frac{M B}{M G}$ 的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含 $α$ 的式子表示）；若无变化，说明理由．

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