福建省福州市八县（市）一中2022-2023学年高二上学期数学11月期中联考试卷

试卷更新日期：2022-12-07 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 向量 $\vec{a}$ ＝(1，－2，－3)， $\vec{b}$ ＝(2，－4，－6)， $\vec{c}$ ＝(12，0，4)，下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ， $\vec{a}$ ∥ $\vec{c}$ B、 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ， $\vec{a}$ ⊥ $\vec{c}$ C、 $\vec{a}$ ∥ $\vec{c}$ ， $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ D、以上都不对

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2. 已知倾斜角为 $θ$ 的直线 $l$ 与直线 $x + \sqrt{3} y - 3 = 0$ 垂直，则 $t a n 2 θ$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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3. 已知直线 $l$ 方程： $k x - y + 2 k - 2 = 0 (k \in R)$ ，若 $l$ 不经过第四象限，则 $k$ 的取值范围为（）

A、 $k \leq 1$ B、 $k \geq 1$ C、 $k \leq 0$ D、 $k \geq 0$

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4. 已知圆C：（x-1）²+y²=1，点P为直线x-y+1=0上的任意一点，PA为圆C的切线（A为切点），则|PA|的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、2 $\sqrt{2}$

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5. 已知圆 $C_{1} ： {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 25$ ，圆 $C_{2} ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，动圆M与圆 $C_{2}$ 外切，同时与圆 $C_{1}$ 内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$

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6. 如图，直径为4的球放地面上，球上方有一点光源P，则球在地面上的投影为以球与地面切点F为一个焦点的椭圆，已知是 $A_{1} A_{2}$ 椭圆的长轴， $P A_{1}$ 垂直于地面且与球相切， $P A_{1} = 6$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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7. 如图，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长均为1，则线段 $A B_{1}$ 上的动点P到直线 $B C_{1}$ 的距离的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 如图，把椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 绕短轴旋转形成的几何体称为“扁椭球”，其中a称为扁椭球长半径，b称为扁椭球短半径， $e = \frac{a - b}{a}$ 称为扁椭球的“扁率”.假设一扁椭球的短半径为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且一棱长为1的正方体内接于扁椭球（即正方体的8个顶点都在扁椭球球面上），则此扁椭球的扁率为（）

A、 $1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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二、多选题

9. 下列结论不正确的有（）

A、如果 $A C < 0$ ， $B C < 0$ ，那么直线 $A x + B y + C = 0$ 不经过第三象限； B、过点 $(- 2 ， 2)$ 且在 $x$ 轴上的截距是 $y$ 轴上截距的2倍的直线方程为： $x + 2 y - 2 = 0$ ； C、直线 $l$ ： $x + 2 y - 1 = 0$ 在 $x$ 轴的截距为 $- 1$ ； D、直线 $l$ ： $3 x + \sqrt{3} y - 3 = 0$ 的倾斜角为 $\frac{π}{6}$ ；

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10. 在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E，F，G分别为BC，CC₁ ， BB₁的中点，则下列结论中正确的是（）

A、D₁D⊥AF B、A₁G//平面AEF C、异面直线A₁G与EF所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍

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11. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线l交椭圆于A，B两点，若 $| A F_{2} | + | B F_{2} |$ 的最大值为5，则下列说法正确的是（）

A、椭圆的短轴长为 $\sqrt{3}$ B、当 $| A F_{2} | + | B F_{2} |$ 最大时， $| A F_{2} | = | B F_{2} |$ C、椭圆离心率为 $\frac{1}{2}$ D、 $△ A B F_{2}$ 面积最大值为 $2 \sqrt{3}$

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12. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，E为 $A_{1} D_{1}$ 的中点，P为对角线上 $D B_{1}$ 的一个动点，过P作与平面ACE平行的平面，则此平面截正方体所得的截面（）

A、截面不可能是五边形 B、截面可以是正六边形 C、P从D点向 $B_{1}$ 运动时，截面面积先增大后减小 D、截面面积的最大值为 $\frac{21}{16}$

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三、填空题

13. 设 $m \in R$ ，过定点 $A$ 的动直线 $2 x + m y + 6 = 0$ 和过定点 $B$ 的动直线 $m x - 2 y - m + 6 = 0$ 交于点 $P (x ， y)$ ，则 ${| P A |}^{2} + {| P B |}^{2}$ 的值是.

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14. 已知直线 $l_{1} ： 3 x - 2 y - 1 = 0$ 和直线 $l_{2} ： 3 x - 2 y - 13 = 0$ ，直线 $l$ 与 $l_{1} ， l_{2}$ 的距离分别为 $d_{1} ， d_{2}$ ，若 $d_{1} ： d_{2} = 1 ： 2$ ，则直线方程 $l$ 的方程为.

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15. 若直线 $a x - 2 b y - 4 = 0 (a > 0 ， b > 0)$ 被圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 4 = 0$ 截得的弦长为2，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为

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16. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，M为 $A_{1} D_{1}$ 的中点，一光线从M点出发，经平面 $A C B_{1}$ 反射后恰好经过点 $C_{1}$ ，则光线从点M到点 $C_{1}$ 所经过的路程为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中， $A (5 ， - 2)$ ， $B (7 ， 4)$ ，且 $A C$ 边的中点M在 $y$ 轴上，BC边的中点N在 $x$ 轴上.

(1)、求AB边上的高CH所在直线方程；

(2)、设过点C的直线为 $l$ ，且点A与点B到直线 $l$ 距离相等，求 $l$ 的方程.

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18. 如图，菱形ABCD中，AB=2， $∠ A B C = 60 °$ ， P为平面ABCD外一点，且平面PAD $⊥$ 平面ABCD，O为AD的中点，M为PC的中点.

(1)、求证： $O M / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $△ P A D$ 为等边三角形，求点M到平面PAB的距离.

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19. 已知圆 $C ： (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} (a > 0 ， r > 0)$ 的圆心在直线 $\sqrt{3} x + y = 0$ 上，且截x轴的弦长为2，截y轴的弦长为 $2 \sqrt{3}$ .

(1)、求圆C的方程；

(2)、若一光线从点 $M (- \sqrt{3} ， 1)$ 出发，经直线 $x + y - 4 = 0$ 反射后恰好与圆C相切，求反射光线所在的直线方程.

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20. 已知直三棱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和 $C C_{1}$ 的中点，D为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点， $B F ⊥ A_{1} B_{1}$ .

(1)、证明：BF⊥DE；

(2)、当 $B_{1} D$ 为何值时，直线AB与平面DFE所成角的正弦值最大.

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21. 某沿海城市A市气象观测站测定，在A市正南方向 $400 \sqrt{3}$ 公里的海面上生成台风B，并且台风中心正以20公里/小时的速度向北偏东30度方向直线移动，台风风圈半径（即以台风中心为圆心，风圈为半径的圆范围以内都会受到台风影响）为400公里.

(1)、经过多少小时A市受到台风影响？影响时间多长？

(2)、若此台风经20小时以后登陆，登陆后强度减弱，风圈半径按5公里/小时的速度缩小，则台风B影响A市的持续时间为多少小时？

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 且四个点 $(2 ， \sqrt{3})$ 、 $(\frac{3}{2} ， - \sqrt{3})$ 、 $(- 2 ， \sqrt{3})$ 、 $(3 ， \frac{\sqrt{7}}{2})$ 中恰好有三个点在椭圆C上，O为坐标原点.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若直线l与椭圆C交于A，B两点，且 $∠ A O B = 90 °$ ，证明：直线l与定圆 $O ： x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相切，并求出 $r$ 的值.

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