2022~2023学年中考数学一轮复习专题11尺规作图设计

试卷更新日期：2022-12-07 类型：一轮复习

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一、三角形作图（高，角平分线，中线及中垂线，平行线等）

1.
如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法）

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2. 如图，已知 $△ A B C ， C A = C B ， ∠ A C D$ 是 $△ A B C$ 的一个外角.请用尺规作图法，求作射线 $C P$ ，使 $C P ∥ A B$ .（保留作图痕迹，不写作法）

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3. 如图，已知△ABC.

⑴作中线AD；

⑵尺规作出角平分线BE ；

⑶作BC边的高线.

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4. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E为AB的中点，请仅用无刻度直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．

(1)、在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；

(2)、在图2中，若BA=BD，画出△ABD的AD边上的高．

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5. 为了美化校园，某小区要在如图所示的三角形空地（ $△ A B C$ ）上作一个半圆形花坛并使之满足以下要求；①圆心在边 $B C$ 上，②该半圆面积最大．请你帮忙设计这一花坛．

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6.
两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P．（不要求写作法，保留作图痕迹．）

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7. 按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.

(1)、如图1，A为圆E上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形；

(2)、我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图：
①如图2，在▱ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F；

②图3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH

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8. 下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线“的尺规作图过程．

已知：如图，直线 $l$ 和直线 $l$ 外一点 $P$ ．

求作：直线 $P Q$ ，使直线 $P Q / /$ 直线 $l$ ．

作法：如图，

①在直线 $l$ 上任取一点 $A$ ，作射线 $A P$ ；

②以 $P$ 为圆心， $P A$ 为半径作弧，交直线 $l$ 于点 $B$ ，连接 $P B$ ；

③以 $P$ 为圆心， $P B$ 长为半径作弧，交射线 $A P$ 于点 $C$ ；分别以 $B ， C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} B C$ 长为半径作弧，在 $A C$ 的右侧两弧交于点 $Q$ ；

④作直线 $P Q$ ；

所以直线 $P Q$ 就是所求作的直线．

根据上述作图过程，回答问题：

(1)、用直尺和圆规，补全图中的图形；

(2)、完成下面的证明：
证明：由作图可知 $P Q$ 平分 $∠ C P B$ ，

$∴ ∠ C P Q = ∠ B P Q = \frac{1}{2} ∠ C P B$ ．

又 $∵ P A = P B$ ，

$∴ ∠ P A B = ∠ P B A$ ．( ▲ )(填依据1)．

$∵ ∠ C P B = ∠ P A B + ∠ P B A$ ，

$∴ ∠ P A B = ∠ P B A = \frac{1}{2} ∠ C P B$ ．

$∴ ∠ C P Q = ∠ P A B$ ，∴直线 $P Q / /$ 直线 $l$ ．( ▲ )(填依据2)．

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二、平面直角坐标系作图（位似，轴对称，平移等）

9. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别是 $A (2 ， 2)$ 、 $B (4 ， 0)$ 、 $C (4 ， - 4)$ .

⑴请画出 $△ A B C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到的 $△ A B_{1} C_{1}$ ；

⑵若点 $D$ 在线段 $B_{1} C_{1}$ 上，且直线 $A D$ 将 $△ A B_{1} C_{1}$ 分成面积相等的两部分，请画出线段 $A D$ ，并写出 $D$ 的坐标.

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10. 如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）.
⑴画出与△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁；
⑵以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A₂B₂C₂ ，使它与△ABC的相似比为 $2 ： 1$ ，并写出点B₂的坐标.

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11. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标是A（0，﹣2），B（6，﹣4），C（2，﹣6）.

⑴请画出与△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁.

⑵以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到△A₂B₂C₂ ，请在y轴左侧画出△A₂B₂C₂.

⑶在y轴上存在点P，使得△OB₂P的面积为6，请直接写出满足条件的点P的坐标.

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12. 如图，在直角坐标系中，已知 $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (3 ， 3)$ ， $B (4 ， 0)$ ， $C (0 ， 2)$ .

(1)、请画出与 $△ A B C$ 关于x轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ .

(2)、以点O为位似中心，将 $△ A B C$ 缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请在y轴的右侧画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ .

(3)、在y轴上存在点P，使得 $△ O A_{1} P$ 的面积为6，请直接写出满足条件的点P的坐标.

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13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 1 ， 5)$ ， $B (- 3 ， 1)$ 和 $C (4 ， 0)$ ，请按下列要求画图并填空.

（ 1 ）平移线段 $A B$ ，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段 $C D$ ，并写出点D的坐标为_▲_；

（ 2 ）将线段 $A B$ 绕点A逆时针旋转 $90 °$ ，画出旋转后所得的线段 $A E$ ，并直接写出 $\cos ∠ B C E$ 的值为_▲_；

（ 3 ）在 $y$ 轴上找出点 $F$ ，使 $△ A B F$ 的周长最小，并直接写出点F的坐标为_▲__.

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14. 如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系.

(1)、画出四边形OABC关于y轴对称的四边形OA₁B₁C₁ ，并写出点B₁的坐标。

(2)、画出四边形OABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到的四边形OA₂B₂C₂；连接OB，求出OB旋转到OB₂所扫过部分图形的面积.

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15. 如图， $△ A B C$ 在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为 $A (4 ， 4)$ ， $B (1 ， 1)$ ， $C (4 ， 1)$ .

(1)、画出与 $△ A B C$ 关于y轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、将 $△ A B C$ 绕点 $O_{1}$ 顺时针旋转90°得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ， $A A_{2}$ 弧是点A所经过的路径，则旋转中心 $O_{1}$ 的坐标为.

(3)、求图中阴影部分的面积（结果保留 $π$ ）.

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三、网格作图

16. 如图在5×5的网格中，△ABC的顶点都在格点上.（仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）

(1)、在图1中画出△ABC的中线AD；

(2)、在图2中画线段CE，点E在AB上，使得 $S_{△ ACE}$ ： $S_{△ BCE}$ =2 ： 3；

(3)、在图3中画出△ABC的外心点O.

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17. 图①，图②均是边长为1的小正方形组成的4×3的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，请用无刻度直尺按要求作图。

(1)、在图1中，作△ABC的中线CD；

(2)、在图2中，作△ABC的高线AH。

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18. 图①、图②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格， $△ A B C$ 为格点三角形.请仅用无刻度的直尺在网格中完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹.

(1)、在图①中，画出 $△ A B C$ 中 $A B$ 边上的中线 $C M$ ；

(2)、在图②中，画出 $△ A B C$ 中 $A C$ 边上的高 $B N$ ，并直接写出 $△ A B C$ 的面积.

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19. 如图均是5×5的正方形网络，每个小正方形的顶点称为格点， $△ A B C$ 的顶点 $A$ ， $B$ ， $C$ 都在格点上，按照下列要求画图.

(1)、在图1中，画 $△ A B C$ 的高 $A D$ .

(2)、在图2中，① $A B =$ ；
②画以 $∠ B$ 为顶角的等腰三角形 $A B E$ ，使点 $E$ 在格点上 .

(3)、在图3中，画出 $△ A B C$ 的角平分线 $B F$ .
（要求：只用直尺，不能用圆规，不要求写出画法）

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20. 如图，△ABC的顶点均为格点，AC与网格线交于点D.仅用无刻度尺的直尺在网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.

(1)、如图1，画出△ABC的角平分线CE；

(2)、如图1，平移AB至DN，使点A的对应点为点D；

(3)、如图2，在AB上找一点G，使DG+CG最小；

(4)、如图3，AB与网格线交于点E，过点E作EQ⊥AC于Q.

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21. 如图，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，用无刻度的直尺，在所给的网格中，按要求作图并保留作图痕迹。
①在图1中作△ABC的轴对称图形△A'B'C'；

②在图2中作△ABC的重心；

③在图3中作△ABC的的高线AH。

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22. 图①，图②均是 $4 \times 4$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点 $A$ ， $B$ ， $C$ 均在格点上．请在给定的网格中按要求画四边形．

(1)、在图①中，找一格点 $D$ ，使以点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 为顶点的四边形是轴对称图形；

(2)、在图②中，找一格点 $E$ ，使以点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $E$ 为顶点的四边形是中心对称图形．

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23. 如图所示，每个小正三角形的边长为1，且它的顶点叫做格点，各顶点在格点处的多边形称为格点多边形，线段AB位于该小正三角形组成的网格中，按要求在网格中作一个格点多边形.

(1)、请在图1画一个既是轴对称图形又是中心对称图形的四边形，且AB为对角线.

(2)、请在图2中画一个以AB为边，面积为 $2 \sqrt{3}$ 的三角形.

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24. 在如图所示的6×6的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．

(1)、请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形：

(2)、请你在图2中画一个以格点为顶点，一条直角边边长为 $\sqrt{10}$ 的直角三角形．

(3)、请你在图3中画出△ABC的边BC上的高AD，∠ACB的角平线CE

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四、新定义尺规作图题

25. 若两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，则这两条线段称为三分线.

(1)、如图①，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种分割即可）.

(2)、如图②，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种分割即可）.

(3)、如图③，△ABC中，∠BAC为钝角，AE，DE为三分线，BD＝BE，DA＝DE，CA＝CE.
①求∠B和∠C的关系式.

②求∠BAC的取值范围.

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26. 实践操作

(1)、如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法)。

作∠BAC的平分线，交BC于点O；

(2)、以Ｏ为圆心，OC长为半径作圆。

(3)、综合运用
在你所作的图中，

AB与⊙O的位置关系是 (直接写出答案)；

(4)、若AC=5，BC=12，求⊙O的半径。

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27. 数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，下图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形.规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形）

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28. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， $△ A B C$ 的顶点 $A ， C$ 均落在格点上，点B在网格线上，且 $A B = \frac{5}{3}$ ．

(1)、线段 $A C$ 的长等于；

(2)、以 $B C$ 为直径的半圆与边 $A C$ 相交于点D ，若 $P ， Q$ 分别为边 $A C ， B C$ 上的动点，当 $B P + P Q$ 取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 $P ， Q$ ，并简要说明点 $P ， Q$ 的位置是如何找到的（不要求证明）．

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29. 如图是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.

(1)、在图（1）中， $D$ ， $E$ 分别是边 $A B$ ， $A C$ 与网格线的交点.先将点 $B$ 绕点 $E$ 旋转 $180 °$ 得到点 $F$ ，画出点 $F$ ，再在 $A C$ 上画点 $G$ ，使 $D G ∥ B C$ ；

(2)、在图（2）中， $P$ 是边 $A B$ 上一点， $∠ B A C = α$ .先将 $A B$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $2 α$ ，得到线段 $A H$ ，画出线段 $A H$ ，再画点 $Q$ ，使 $P$ ， $Q$ 两点关于直线 $A C$ 对称.

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