浙江省杭州市萧山区2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $x - \sqrt{3} y - 2 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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2. 已知复数 $z = \frac{2}{1 - i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3. 在 $△ A B C$ 中，已知 $∠ B = 45^{°}$ ， $∠ C = 30^{°}$ ， $A C = 2$ ，则 $A B$ 等于（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{6}$

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4. 已知圆锥的侧面积 $($ 单位： ${cm}^{2})$ 为 $2 π$ ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积 $($ 单位： ${cm}^{3})$ 是（）

A、 $\frac{1}{3} π$ B、 $\frac{2}{3} π$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{6} π$

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5. 已知m和n是两条不同的直线， $α$ 和 $β$ 是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）

A、 $m ⊥ n$ ， $n \subset α$ ，则 $m ⊥ α$ B、 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $α / / β$ ，则 $m / / n$ C、若 $m / / α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n ⊥ α$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m / / β$ ，则 $α ⊥ β$

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6. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{b} = (1 ， 1)$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为（）

A、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(1 ， 1)$ C、 $(- 1 ， - 1)$ D、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$

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7. 已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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8. 柜子里有3双不同的鞋子，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双的概率为（）

A、 $\frac{5}{18}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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二、多选题

9. 设复数 $z = x + y i (x ， y \in R)$ ，下列说法正确的是（）

A、z的虚部是y B、 $z^{2} = x^{2} + y^{2}$ C、若 $x = 0$ ，则z为纯虚数 D、若 $z$ 满足 $| z - i | = 1$ ，则z在复平面内的对应点 $(x ， y)$ 的轨迹是圆

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10. 如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列选项正确的是（）

A、异面直线 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 所成的角为 $60^{°}$ B、三棱锥 $D_{1} - A_{1} C_{1} D$ 的体积为 $\frac{1}{6}$ C、直线 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ D、二面角 $B_{1} - C D - B$ 的大小为 $30^{°}$

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11. 在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”，事件B为“第一次记录的数字为偶数”；事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（）

A、事件B与事件C是互斥事件 B、事件A与事件B是相互独立事件 C、事件B与事件C是相互独立事件 D、 $P (A B C) = \frac{1}{4}$

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12. 已知圆 $C ： x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 2$ ，点P是圆C上的一个动点，点 $A (2 ， 0)$ ， $B (0 ， 1)$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $\sqrt{2} \leq | A P | \leq 3 \sqrt{2}$ B、 $∠ P A C$ 的最大值为 $\frac{π}{3}$ C、 $\vec{A C} \cdot \vec{A P}$ 的最大值为12 D、 $\vec{A B} \cdot \vec{A P}$ 的最大值为9

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (3 ， - 2)$ ， $\vec{c} = (1 ， λ) .$ 若 $\vec{c} / / (2 \vec{a} - \vec{b})$ ，则 $λ =$

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14. 写出过点 $A (1 ， 2)$ ，且在两坐标轴上截距相等的一条直线方程.

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15. 已知圆 $C ： {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 2$ ，以点 $A (0 ， 2)$ 为圆心，半径为r的圆与圆C有公共点，则r的取值范围为.

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16. 已知直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，底面ABCD为平行四边形， $A A_{1} = 3$ ， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，以 $D_{1}$ 为球心，半径为2的球面与侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 的交线的长度为.

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四、解答题

17. 已知直线 $l ： k x - y + 2 k + 1 = 0 (k \in R) .$

(1)、求证：直线l过定点，并求出此定点；

(2)、求点 $A (3 ， 0)$ 到直线l的距离的最大值.

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18. 杭州市某高中从学生中招收志愿者参加迎亚运专题活动，现已有高一540人、高二360人，高三180人报名参加志愿活动.根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取120名.对抽出的120名同学某天参加运动的时间进行了统计，运动时间均在 $39.5$ 至 $99.5$ 分钟之间，其频率分布直方图如下：

(1)、需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人?

(2)、（i）请补全频率分布直方图；
（ii）求这120名学生运动时间的第80百分位数是多少?

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19. 袋中有形状、大小都相同的 $4$ 个小球，标号分别为 $1 ， 2 ， 3 ， 4$ .

(1)、从袋中一次随机摸出 $2$ 个球，求标号和为奇数的概率；

(2)、从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次.甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由.

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20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为正方形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D .$ 设平面 $P A D \cap$ 平面 $P B C = l .$

(1)、证明： $l //$ 平面 $A B C D$ ，

(2)、若 $P D = A D = 1$ ，求直线l与平面PAC所成角的正弦值.

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21. 已知圆C的半径为3，圆心C在射线 $y = - 2 x (x \geq 0)$ 上，直线 $x + y - 1 = 0$ 被圆C截得的弦长为 $3 \sqrt{2} .$

(1)、求圆C方程；

(2)、过点 $P (2 ， 0)$ 的直线l与圆C交于M、N两点，且 $△ O M N$ 的面积是 $6 (O$ 为坐标原点 $)$ ，求直线l的方程.

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22. 如图1是直角梯形ABCD ， $A B / / D C$ ， $∠ D = 90 °$ ， $A B = 2$ ， $D C = 3$ ， $A D = \sqrt{3}$ ， $\vec{C E} = 2 \vec{E D} .$ 以BE为折痕将 $△ B C E$ 折起，使点C到达 $C_{1}$ 的位置，且 $V_{C_{1} - A B E D} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ，如图 $2.$

(1)、证明： $A C_{1} ⊥ B E ；$

(2)、求二面角 $C_{1} - A D - B$ 余弦值.

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