天津市蓟州区2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在空间直角坐标系中，已知点 $A （ 2 ， 2 ， 5 ）， B (4 ， 6 ， 3) ，$ 则线段AB的长度是（）

A、 $2 \sqrt{6}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、4

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2. 圆心坐标为 $(1, - 1)$ ，半径长为2的圆的标准方程是（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 2$ B、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$ C、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ D、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$

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3. 在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，点 $A (1 ， - 2 ， 3)$ 在坐标平面 $O y z$ 的射影坐标是（）

A、 $(0 ， - 2 ， 3)$ B、 $(1 ， 0 ， 3)$ C、 $(1 ， - 2 ， 0)$ D、 $(1 ， 0 ， 0)$

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4. 两条平行直线 $l_{1} ： 3 x + 4 y = 10 ， l_{2} ： 3 x + 4 y = 0$ 之间的距离为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、2 C、 $2 \sqrt{5}$ D、4

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5. 设 $a \in R$ ，直线 $l_{1} ： a x + y = 1 ，$ 与直线 $l_{2} ： 2 x + （ a + 1 ） y = - 1$ 垂直，则 $a =$ （）

A、-2 B、1 C、-2或1 D、 $- \frac{1}{3}$

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6. 若过点 $P (2 ， 1)$ ，且与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切的直线方程为（）

A、 $2 x + y - 5 = 0$ B、 $2 x + y - 5 = 0$ 或 $y = 1$ C、 $4 x - 3 y - 5 = 0$ D、 $4 x - 3 y - 5 = 0$ 或 $y = 1$

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7. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点B到直线 $A C_{1}$ 距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 点 $P (- 2 ， - 1)$ 到直线 $l ： (1 + 3 λ) x + (1 + λ) y - 2 - 4 λ = 0 ， (λ \in R)$ 的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（）

A、 $\sqrt{13} ； x + y - 2 = 0$ B、 $\sqrt{11} ； 3 x + y - 4 = 0$ C、 $\sqrt{13} ； 2 x - 3 y + 1 = 0$ D、 $\sqrt{11} ； 2 x - 3 y + 1 = 0$

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9. 已知直线 $l ： x - y = 1$ 与圆 $Γ ： x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y - 1 = 0$ 相交于 $A ， C$ 两点，点 $B ， D$ 分别在圆 $Γ$ 上运动，且位于直线 $l$ 两侧，则四边形 $A B C D$ 面积的最大值为（）

A、 $\sqrt{30}$ B、 $2 \sqrt{30}$ C、 $\sqrt{51}$ D、 $2 \sqrt{51}$

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二、填空题

10. 已知空间向量 $\vec{a} = (1 ， 2 ， - 3) ， \vec{b} = (1 ， - 1 ， 2)$ ，则 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot \vec{b} =$ .

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11. 已知点P（1，2）到直线 $l ； 4 x - 3 y + 1 = 0$ 的距离为.

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12. 设空间向量 $\vec{a} = (1 ， 2 ， 3) ， \vec{b} = (0 ， - 1 ， 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为.

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13. 圆 $x^{2} + y^{2} - 4 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y - 12 = 0$ 的公共弦长为．

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14. 直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B C A = 90^{\circ}$ ， $D_{1} ， F_{1}$ 分别是 $A_{1} B_{1} ， A_{1} C_{1}$ 的中点， $B C = A C = C C_{1}$ ，则 $B D_{1} 与 A F_{1}$ 所成角的余弦值为

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15. 已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点 $M (0, \sqrt{5})$ 在圆C上，且圆心到直线 $2 x - y = 0$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ，则圆C的方程为.

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三、解答题

16. 如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E ， F ， G分别是 $D D_{1} ， B D ， B B_{1}$ 的中点，

(1)、求证： $E F ⊥ C F$ ；

(2)、求点G到平面EFC的距离.

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17. 已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (- 2 ， 4) ， B (4 ， - 6) ， C (5 ， 1)$ .

(1)、求 $A B$ 边上的中线所在直线的方程；

(2)、求经过点 $A$ ，且在 $x$ 轴上的截距和 $y$ 轴上的截距相等的直线的方程.

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18. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A$ ⊥底面 $A B C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ．点 $D$ ， $E$ ， $N$ 分别为棱 $P A$ ， $P C$ ， $B C$ 的中点， $M$ 是线段 $A D$ 的中点， $P A = A C = 4$ ， $A B = 2$ ．

(1)、求证： $M N$ ∥平面 $B D E$ ；

(2)、求平面PAC与平面EMN所成角的余弦值.

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19. 已知圆 $C$ 过点 $A (2 ， 6)$ ，且与直线 $l_{1} ： x + y - 10 = 0$ 相切于点 $B (6 ， 4)$ ．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P (6 ， 24)$ 的直线 $l_{2}$ 与圆C交于M ， N两点，若 $△ C M N$ 为直角三角形，求直线 $l_{2}$ 的方程；

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $A B ⊥ A C$ ，且 $P A = A B = 3$ ， $A C = 2$ ， $E$ 是棱 $P D$ 的中点.

(1)、求直线 $P C$ 与平面 $A E C$ 所成角的正弦值；

(2)、在线段 $P B$ 上（不含端点）是否存在一点 $M$ ，使得平面MAC与平面ACE所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ ？若存在，确定 $M$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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