天津市河北区2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-06 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，点 $A (3 ， 4 ， 2022)$ 在坐标平面 $O x y$ 内的射影的坐标是（）

A、 $(0 ， 4 ， 2022)$ B、 $(3 ， 0 ， 2022)$ C、 $(0 ， 0 ， 2022)$ D、 $(3 ， 4 ， 0)$

查看试题解析
2. 经过点 $(1 ， 3) ， (- 2 ， 4)$ 的直线方程为（）

A、 $x + 3 y - 10 = 0$ B、 $3 x + y - 6 = 0$ C、 $x - 3 y + 8 = 0$ D、 $3 x + y + 2 = 0$

查看试题解析
3. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若 $\vec{B D_{1}} = x \vec{C_{1} D_{1}} + y \vec{C_{1} B_{1}} + z \vec{C_{1} C}$ ，则有序实数组 $(x ， y ， z)$ 为（）

A、 $(1 ， 1 ， 1)$ B、 $(1 ， - 1 ， - 1)$ C、 $(1 ， 1 ， - 1)$ D、 $(- 1 ， 1 ， - 1)$

查看试题解析
4. 已知圆心为 $(- 2 ， 1)$ 的圆与x轴相切，则该圆的标准方程是（）

A、 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ B、 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ C、 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ D、 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$

查看试题解析
5. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ 上一点P到右焦点的距离为5，则它到左焦点的距离为（）

A、31 B、15 C、7 D、1

查看试题解析
6. 过直线 $l_{1} ： x =-1$ 和直线 $l_{2} ： y = x + 3$ 的交点且与 $l_{2}$ 垂直的直线方程为（）

A、 $x + y + 1 = 0$ B、 $2 x + y = 0$ C、 $x + y - 1 = 0$ D、 $3 x - y + 5 = 0$

查看试题解析
7. 已知直线 $l_{1} ： a x + y + 1 = 0$ ， $l_{2} ： x + a y + 1 = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则实数 $a =$ （）

A、 $- 1$ 或1 B、0或1 C、1 D、 $- 1$

查看试题解析
8. 已知两条异面直线的方向向量分别是 $\vec{u} = (- 3 ， 1 ， 2) ， \vec{v} = (3 ， 2 ， 1)$ ，则这两条异面直线所成的角 $α$ 满足（）

A、 $\sin α = \frac{5}{14}$ B、 $\cos α = \frac{5}{14}$ C、 $\sin α = - \frac{5}{14}$ D、 $\cos α = - \frac{5}{14}$

查看试题解析
9. 已知 $\vec{a} = (3 ， 0 ， 4)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， 2 ， 5)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量是（）

A、 $\frac{11}{25} (- 3 ， 2 ， 5)$ B、 $\frac{11}{38} (- 3 ， 2 ， 5)$ C、 $\frac{11}{25} (3 ， 0 ， 4)$ D、 $\frac{11}{38} (3 ， 0 ， 4)$

查看试题解析
10. 黄金分割比例 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴含着丰富的美学价值．这一比值能够引起人们的美感，是建筑和艺术中最理想的比例．我们把离心率 $e = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的椭圆称为“黄金椭圆”，则以下四种说法：
①椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{\sqrt{5} + 1} = 1$ 是“黄金椭圆”；②若椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (c ， 0)$ ，且满足 $b^{2} = a c$ ，则该椭圆为“黄金椭圆”；③设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，上顶点为 $B$ ，右顶点为 $A$ ，若 $∠ A B F = 90^{°}$ ，则该椭圆为“黄金椭圆”；④设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右顶点分别是 $A ， B$ ，左，右焦点分别是 $F_{1} ， F_{2}$ ，若 ${| F_{1} F_{2} |}^{2} = | A F_{1} | \cdot | F_{1} B |$ ，则该椭圆为“黄金椭圆”．其中说法正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析

二、填空题

11. 若直线 $l ： a x + 3 y + 2 a = 0$ 经过点 $P (1 ， - 1)$ ，则直线l的斜率为．

查看试题解析
12. 已知直线l₁的方程为3x+4y-7=0，直线l₂的方程为6x+8y+1=0，则直线l₁与l₂的距离为．

查看试题解析
13. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y + 16 = 0$ ，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的位置关系为．（用“相交、外切、内切、外离、内含”填空）

查看试题解析
14. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $A A_{1}$ 的中点，以D为原点， $D A ， D C ， D D_{1}$ 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则点 $B_{1}$ 到直线 $C E$ 的距离为；点D到平面 $C D_{1} E$ 的距离为．

查看试题解析
15. 已知点 $P (5 ， 0)$ 和圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 3 = 0$ ，则圆 $C$ 的圆心坐标为；设点 $Q$ 为圆 $C$ 上的点，则 $| P Q |$ 的取值范围为．

查看试题解析

三、解答题

16. 已知向量 $\vec{a} = (x ， 4 ， 1) ， \vec{b} = (- 2 ， y ， - 1) ， \vec{c} = (3 ， - 2 ， z) ， \vec{a} / / \vec{b} ， \vec{b} ⊥ \vec{c}$ ．

(1)、求 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ ；

(2)、求 $\vec{a} - \vec{c}$ 与 $\vec{b} - \vec{c}$ 所成角的余弦值．

查看试题解析
17. 已知直线 $l$ 的方程为 $y - 2 k = k (x - 1)$ ，圆 $C$ 的方程为 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ．

(1)、若 $k = 1$ 时，直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，求弦 $A B$ 的长：

(2)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，求直线 $l$ 的方程．

查看试题解析
18. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C ， A B ⊥ A C ， A B = 2 ， A A_{1} = A C = 4$ ， M是 $C C_{1}$ 的中点，N是 $A_{1} B$ 的中点．

(1)、求证： $C_{1} N$ ∥平面 $A B M$ ；

(2)、求直线 $A_{1} C$ 与平面 $A B M$ 所成角的正弦值；

(3)、求平面 $A B M$ 与平面 $A_{1} B C$ 夹角的余弦值．

查看试题解析
19. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长是 $2 \sqrt{6}$ ，短轴长是 $2 \sqrt{2}$ ，过右焦点 $F$ 的直线 $l$ 与椭圆相交于 $P ， Q$ 两点．

(1)、求椭圆的方程及离心率；

(2)、若直线 $l$ 的倾斜角为 $60^{\circ}$ ，求线段 $P Q$ 的长；

(3)、若 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q} = 1$ ，求直线 $l$ 的方程．

查看试题解析