四川省绵阳市名校共同体2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2022-12-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列图形中不是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列语句描述的事件中，是必然事件的是（）

A、打开电视，正在播放电影《长津湖》 B、在同一个圆中，等弧对等弦 C、 $a x^{2} + 1 = 0$ 是关于x的一元二次方程 D、过平面内任意三点画一个圆

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3. 如图，在平行四边形OABC中，对角线相交于点E，OA边在x轴上，点O为坐标原点，已知点 $A (4 ， 0)$ ， $E (3 ， 1)$ ，则点C的坐标为（）

A、 $(1 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 1)$ D、 $(2 ， 2)$

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4. 用配方法解关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ ，配方正确的是（）

A、 ${(x + 1)}^{2} = 2$ B、 ${(x - 1)}^{2} = 1$ C、 ${(x - 1)}^{2} = 2$ D、 ${(x + 1)}^{2} = 1$

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5. 已知函数 $y = (m + 2) x^{m^{2} - 5}$ 是关于x的反比例函数，则该函数图象位于（）

A、第一、第三象限 B、第二、第四象限 C、第一、第二象限 D、第三、第四象限

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6. 如图，将 $△ A B C$ 绕点B顺时针旋转角 $α$ ，得到 $△ A_{1} B C_{1}$ ，此时点A，点B，点 $C_{1}$ 在一条直线上，若 $∠ A_{1} B C = 22 °$ ，则旋转角 $α =$ （）

A、79° B、80° C、78° D、81°

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7. 如图，AB为 $⊙ O$ 的直径，弦CD平分 $∠ A C B$ ，若 $A B = 2 \sqrt{2}$ ，则 $A D =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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8. 已知水平放置半径为6cm的球形容器中装有溶液，容器内液面的面积为 $27 π$ cm² ，如图，是该球体的一个最大纵截面，则该截面 $⊙ O$ 中阴影部分的弧长为（）

A、 $2 π$ cm B、 $4 π$ cm C、 $6 π$ cm D、 $8 π$ cm

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9. 青山村种的西瓜2019年平均每亩产3000kg，2021年平均每亩产3630kg，则西瓜每亩产量的年平均增长率为（）

A、10% B、20% C、12% D、15%

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10. 如图，在 $⊙ O$ 中，CD为 $⊙ O$ 的直径， $C D ⊥ A B$ ， $∠ A E C = 60 °$ ， $O B = 4$ ，则弦 $A B =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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11. 如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，对角线CE，DF相交于点G，则 $△ G E F$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{10 \sqrt{3}}{3}$

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12. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ，顶点坐标为 $(1 ， n)$ ，与y轴的交点在 $(0 ， 2)$ 和 $(0 ， 3)$ 两点之间（包含端点）.下列结论中正确的个数有（）
①不等式 $a x^{2} + c < - b x$ 的解集为 $x < - 1$ 或 $x > 2$ ；② $- 9 a^{2} + b^{2} > 0$ ；③一元二次方程 $c x^{2} + b x + a = 0$ 的两个根分别为 $x_{1} = \frac{1}{3}$ ， $x_{2} = - 1$ ；④ $6 \leq 3 n - 2 \leq 10$ .

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 在一个不透明的袋子中，装有2个红球，3个白球，这些球除颜色外无其它差别，从袋中随机摸出一个球是白球的概率为.

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14. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + 3 x - a = 0$ 的两个根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $x_{1} \cdot x_{2} = 2$ ，则实数 $a =$ .

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15. 牛先生餐饮店里有一个记时沙漏，它的上半部分是圆锥形，若该圆锥的底面圆半径为2cm，高为 $\sqrt{5}$ cm，则圆锥的侧面积为 $c m^{2}$ .

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16. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知⊙D与y轴相交的弦长为6，圆心 $D (2 ， 4)$ ，则过点 $B (2 ， 3)$ 的所有弦中最短的弦长为.

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17. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y_{1} = k x + b (k \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象交于 $A (1 ， 2)$ ， $B (2 ， 1)$ 两点，若 $y_{1} > y_{2}$ ，则x的取值范围为.

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18. 如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为 $(4 ， 3)$ ， ⊙M是 $△ A O C$ 的内切圆，点N，点P分别是⊙M，x轴上的动点，则 $B P + P N$ 的最小值是.

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三、解答题

19.

(1)、解方程： $x (x - 1) = 3 x + 5$ .

(2)、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点坐标为 $A (1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ， $C (3 ， 2 \sqrt{3})$ ，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针方向旋转120°得到 $△ A B_{1} C_{1}$ .

①请在图中画出 $△ A B_{1} C_{1}$ ，写出点 $B_{1}$ 和 $C_{1}$ 的坐标；

②求出点C所经过的路径长（结果保留 $π$ ）.

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20. 已知关于x的方程 $(x - 3) (x - 2) = p^{2}$ .

(1)、求证：无论x取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

(2)、若方程的一个实数根是 $- p + 1$ ，求p的值及方程的另一个实数根.

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21. 在一个不透明的布袋中装有3个标号分别为 $- 2$ ， 0，2的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，放回袋中，充分搅匀，小红再随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点P的坐标为 $(x ， y)$ .

(1)、列出所有满足题意的点P的坐标；

(2)、求点P的坐标满足 $x^{2} + y^{2} < 5$ 的概率.

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22. 晨晨和明明是两名汽车爱好者，对甲、乙两种智能汽车进行空调制冷后舒适度测试，两人同时启动空调1小时后，开始记录数据，发现甲的舒适指数 $w_{甲}$ 与空调启动时间 $x (x \geq 1)$ 成反比例关系，乙的舒适指数 $w_{乙}$ 与空调启动时间 $x (x \geq 1)$ 的函数关系式为 $w_{乙} = - x^{2} + b x + c$ ，函数图象如图，且在 $(m + 1)$ 小时，乙的舒适指数最大.

(1)、求m的值及乙的舒适指数最大值；

(2)、当 $w_{乙} = 9$ 时，求 $w_{乙} - w_{甲}$ 的较大值.

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23. 如图，在正方形OABC中，点O为坐标原点，点 $C (- 3 ， 0)$ ，点A在y轴正半轴上，点E，F分别在BC，CO上， $C E = C F = 2$ ，一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象过点E和F，交y轴于点G，过点E的反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象交AB于点D.

(1)、求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、在线段EF上是否存在点P，使 $S_{△ A D P} = S_{△ A P G}$ ，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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24. 如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，连接OP交⊙O于点E，点C在⊙O上，四边形OBCE为菱形，连接PC.

(1)、求证：PC是⊙O的切线；

(2)、连接BP交⊙O于点F，交CE于点G.
①连接OG，求证： $O G ⊥ C G$ ；

②若 $O B = 3$ ，求BF的长.

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25. 如图1，在平面直角坐标系中，⊙P是 $△ A O C$ 的内切圆，点D，E，F为切点，连接CD交⊙P于点G，⊙P的半径为2， $E G$ // $x$ 轴， $A B = A C$ ，抛物线经过A，B，C三点.

(1)、求证： $△ A D P ≌ △ C O D$ ；

(2)、求抛物线的解析式；

(3)、如图2，点M在抛物线上，且在直线AC的上方， $M N$ // $y$ 轴交AC于点N，过点N作 $N K ⊥ B C$ ，垂足为K.设 $t = M N + \frac{2}{5} \sqrt{10} N K$ ，求t的最大值及此时点M的坐标.

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