陕西省延安市2022-2023学年高二上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}} (n \in N_{+})$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- 1$ C、2 D、1

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2. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\sin B = \frac{4}{5}$ ， $b = 13$ ， $c = 14$ ，则 $\sin C =$ （）

A、 $\frac{26}{35}$ B、 $\frac{42}{65}$ C、 $\frac{56}{65}$ D、 $\frac{39}{70}$

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3. 已知 $a > 0 > b$ ，则（）

A、 $a^{2} > a b$ B、 $a b > b^{2}$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $\frac{a}{b} > 1$

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4. 若三角形的三边长度分别为5，6，7，则该三角形的形状是（）

A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定的

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5. 若不等式 $a x^{2} + x - 3 > 0$ 的解集为 ${x | x > 1$ 或 $x < b}$ ，则 $a + b =$ （）

A、0 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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6. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1001} + a_{1022} = - 2$ ，则该数列的前 $2022$ 项和为（）

A、 $- 2023$ B、 $- 2022$ C、 $- 2021$ D、 $- 2020$

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7. 已知正实数 $a$ ， $b$ 满足 $2 a + b + 2 a b - 8 = 0$ ，则 $a b$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 已知 $a = 3 - \sqrt{5}$ ， $b = \sqrt{7} - 2$ ， $c = 1$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $c > a > b$ C、 $b > c > a$ D、 $c > b > a$

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 3^{n}$ ，则 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ （）

A、 $\frac{3^{n} + 1}{4}$ B、 $\frac{3^{n + 1} - 3}{2}$ C、 $\frac{3^{n} - 1}{2}$ D、 $\frac{3^{n + 1} - 5}{4}$

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10. 已知 $m > 0$ ， $n > 0$ ， $9 \sqrt{3}$ 是 $3^{m}$ 与 $3^{2 n}$ 的等比中项，则 $\frac{m + 9}{m} + \frac{1}{2 n}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{21}{5}$ B、 $\frac{16}{5}$ C、 $\frac{13}{5}$ D、 $\frac{8}{5}$

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11. 如图，到达某旅游景区内的 $A$ 处后，有两种路径到 $B$ 处：一种是从 $A$ 处沿直线步行到 $B$ 处；另一种是先从 $A$ 处坐小火车沿直线到达 $C$ 处，再从 $C$ 处沿直线步行到 $B$ 处.现有甲、乙两名游客到达 $A$ 处后，甲沿 $A B$ 方向匀速步行前往 $B$ 处，速度为50米/分钟，甲出发2分钟后，乙从 $A$ 处坐小火车前往 $C$ 处，再从 $C$ 处步行到 $B$ 处.已知小火车的速度为200米/分钟， $A$ ， $C$ 之间的距离为2000米， $B$ 、 $C$ 之间的距离为3000米， $A B > B C$ ， $\sin B = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .当乙在小火车上时，甲、乙之间的直线距离最短为（）

A、 $\frac{300 \sqrt{39}}{13}$ 米 B、 $\frac{200 \sqrt{39}}{13}$ 米 C、 $\frac{300 \sqrt{13}}{13}$ 米 D、 $\frac{200 \sqrt{13}}{13}$ 米

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12. 设 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $S_{n} = \frac{3}{2} a_{n} - 3^{n + 1}$ ，若不等式 $a_{n} \geq \frac{2 n^{2} + n}{\sqrt{k}}$ 对任意 $n \in N_{+}$ 恒成立，则 $k$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{36}$

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二、填空题

13. 已知 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y + 1 \geq 0 \\ x \leq y \\ y \leq 1 \end{array}$ ，则 $z = x + y$ 的最大值为.

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14. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 105 °$ ， $A C = 1$ ，若 $△ A B C$ 有一个解，则 $B C$ 的取值范围是.

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15. 设 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，公差为 $d$ ， $a_{1} = - 5$ ，当且仅当 $n = 5$ 时， $S_{n}$ 取得最小值，则 $d$ 的取值范围为.

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16. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等差数列，则 $\cos B$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 解下列不等式：

(1)、 $(x - 2) (x + 1) < 4$ ；

(2)、 $\frac{x - 2}{x + 1} \geq 0$ .

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18. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和是 $S_{n}$ ， $a_{3} + a_{5} = 20$ ， $S_{5} = 35$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n + 1} a_{n + 2}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A C = 2 \sqrt{13}$ ， $\cos ∠ B A C = - \frac{2 \sqrt{13}}{13}$ ， $D$ 为线段 $B C$ 的中点.

(1)、求 $B C$ 的长；

(2)、求 $\cos ∠ A D C$ 的值.

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20. 如图所示，园林设计师计划在一面墙的同侧用彩带围成六个相同的矩形区域，靠墙的部分不用彩带.设 $A B$ 为 $x$ 米， $A C$ 为 $y$ 米.

(1)、当彩带的总长为48米时，围成的六个矩形的面积之和的最大值为多少？并求出此时 $x$ 和 $y$ 的值.

(2)、当围成的六个矩形的面积之和为18平方米时，求彩带总长的最小值及此时 $x$ 和 $y$ 的值.

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21. 在锐角 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C所对的边分别是a ， b ， c ，且 $\frac{2 a - c}{2 b} = \cos C$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、求 $\frac{a}{c}$ 的取值范围.

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = \frac{n^{2} + n + 2}{2}$ .在数列 ${b_{n}}$ 中， $b_{1} = 0$ ， $2 b_{n} + 1 = b_{n - 1}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} (b_{n} + 1)$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $2 \leq T_{n} < 5$ .

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