陕西省西安市2022-2023学年高二上学期理数第二次考试试卷

试卷更新日期：2022-12-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. “ $m > 0$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 表示椭圆”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 命题“ $\forall x > 0$ ，有 $x^{2} - x > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x > 0$ 有 $x^{2} - x \leq 0$ B、 $\exists x \leq 0$ 有 $x^{2} - x < 0$ C、 $\forall x > 0$ 有 $x^{2} - x \leq 0$ D、 $\exists x \leq 0$ 有 $x^{2} - x \leq 0$

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3. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm \frac{2}{3} x$ B、 $y = \pm \frac{4}{9} x$ C、 $y = \pm \frac{9}{4} x$ D、 $y = \pm \frac{3}{2} x$

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4. 过椭圆的右焦点 $F_{2}$ 作椭圆长轴的垂线交椭圆于 $A ， B$ 两点， $F_{1}$ 为椭圆的左焦点，若 $△ F_{1} A B$ 为正三角形，则椭圆的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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5. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， AC与BD的交点为M.设 $\vec{A_{1} B_{1}} = \vec{a} ， \vec{A_{1} D_{1}} = \vec{b} ， \vec{A_{1} A} = \vec{c} ，$ ，则下列向量中与 $\vec{B_{1} M}$ 相等的向量是（　　）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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6. 已知A（3，2），点F为抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的焦点，点P在抛物线上移动，为使 $| P A | + | P F |$ 取得最小值，则点P的坐标为（）

A、（0，0） B、（2，2） C、 $(1 ， \sqrt{2})$ D、 $(\frac{1}{2} ， 1)$

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7. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点，P为椭圆C上一点，且 $\vec{P F_{1}} ⊥ \vec{P F_{2}}$ ，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为9，则 $b =$ （）

A、3 B、9 C、 $\frac{9}{2}$ D、12

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8. 设 $F$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 3 x$ 的焦点，过 $F$ 且倾斜角为 $30^{\circ}$ 的直线交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，则 $| A B | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{30}}{3}$ B、6 C、12 D、 $7 \sqrt{3}$

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9. 已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是（）

A、 $\overset{⇀}{O M} = \overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B} + \overset{⇀}{O C}$ B、 $\overset{⇀}{O M} = \overset{⇀}{O A} + 2 \overset{⇀}{O B} + 3 \overset{⇀}{O C}$ C、 $\overset{⇀}{O M} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{O A} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{O B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{O C}$ D、 $\overset{⇀}{O M} = \frac{1}{3} \overset{⇀}{O A} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{O B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{O C}$

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10. 抛物线 $W ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $A$ 在抛物线上，且点 $A$ 到直线 $x = - 3$ 的距离是线段 $A F$ 长度的2倍，则线段 $A F$ 的长度为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ，若椭圆上存在点 $P$ ，使 $∠ F_{1} P F_{2} = 120^{\circ}$ ，则椭圆的离心率e的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$ B、 $(0 ， \frac{3}{4}]$ C、 $[\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1)$ D、 $[\frac{3}{4} ， 1)$

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12. 已知 $P$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 右支上的一点， $F_{1} ， F_{2}$ 是该双曲线的左、右焦点， $I$ 为 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的内心，若 $S_{Δ I P F_{1}} = S_{Δ I P F_{2}} + λ S_{Δ I F_{1} F_{2}}$ 成立，则 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ B、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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二、填空题

13. 已知 $\vec{n} = (1 ， 2 ， - 1)$ 为平面 $α$ 的一个法向量， $\vec{a} = (- 2 ， λ ， 1)$ 为直线 $l$ 的方向向量.若 $l / / α$ ，则 $λ =$ .

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14. 抛物线 $y = a x^{2}$ 的焦点坐标为.

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15. 以双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 0)$ 的一个焦点F为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的面积为．

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16. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左，右焦点， $A$ 是 $C$ 的左顶点，点 $P$ 在过 $A$ 且斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ 的直线上， $△ P F_{1} F_{2}$ 为等腰三角形， $∠ F_{1} F_{2} P = 120 °$ ，则 $C$ 的离心率为.

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三、解答题

17. 设抛物线 $y^{2} = m x (m \neq 0)$ 的准线与直线 $x = 1$ 的距离为8，求抛物线的方程．

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18. 已知命题p： $\frac{x^{2}}{m + 3} + \frac{y^{2}}{7 m - 3} = 1$ 表示焦点在x轴的双曲线，命题q： $f (x) = {(5 - 2 m)}^{x}$ 是增函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．

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19. 设动直线l垂直于x轴，且与椭圆 $x^{2} + 2 y^{2} = 4$ 交于A，B两点，P是l上满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 1$ 的点，求点P的轨迹方程．

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20. 已知双曲线E的中心为原点， $F (3 ， 0)$ 是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为 $N (- 12 ， - 15)$ ，求E的方程．

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21. 如图（1）图所示，在直角梯形ABCD中， $A D // B C$ ， $∠ B A D = \frac{π}{2}$ ， $A B = B C = 1$ ， $A D = 2$ ， E是 $A D$ 的中点，O是AC与BE的交点．将 $△ A B E$ 沿BE折起到 $△ A_{1} B E$ 的位置，如图（2）所示．

(1)、证明： $C D ⊥$ 平面 $A_{1} O C$ ；

(2)、若平面 $A_{1} B E ⊥$ 平面BCDE，求平面 $A_{1} B C$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成锐二面角的余弦值．

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22. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点 $F (1, 0)$ ， $O$ 为坐标原点， $A$ ， $B$ 是抛物线 $C$ 上异于 $O$ 的两点.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $O A$ ， $O B$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，求证：直线 $A B$ 过 $x$ 轴上一定点.

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